Ортогональные полиномы Соболева

В математике являются ортогональные полиномы Соболева ортогональными полиномами относительно Соболева внутреннего продукта , т.е. внутреннего продукта с производными .

Имея условия на производные, ортогональные полиномы Соболева, как правило, больше не обладают некоторыми приятными особенностями, которыми обладают классические ортогональные полиномы.

Ортогональные многочлены Соболева названы в честь Сергея Львовича Соболева .

Определение

Позволять $\mu _{0},\mu _{1},\dots ,\mu _{n}$ быть позитивными борелевскими мерами по $\mathbb {R}$ с конечными моментами. Рассмотрим внутренний продукт

$\langle p_{r},p_{s}\rangle _{W^{n,2}}=\int _{\mathbb {R} }p_{r}(x)p_{s}(x)\;\mathrm {d} \mu _{0}+\sum \limits _{k=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }p_{r}^{(k)}(x)p_{s}^{(k)}(x)\;\mathrm {d} \mu _{k}$

и пусть $W^{n,2}$ — соответствующее пространство Соболева . Соболева Ортогональные полиномы $\{p_{n}\}_{n\geq 0}$ определяются как

$\langle p_{n},p_{s}\rangle _{W^{n,2}}=c_{n}\delta _{n,s}$

где $\delta _{n,s}$ обозначает дельту Кронекера . Говорят, что эти многочлены ортогональны по Соболеву .

Объяснение

• Классические ортогональные полиномы являются ортогональными полиномами Соболева, поскольку их производные также являются ортогональными полиномами.
• Полиномы, ортогональные по Соболеву, вообще говоря, больше не являются коммутативными в операторе умножения относительно скалярного произведения, т.е.

$\langle xp_{n},p_{s}\rangle _{W^{n,2}}\neq \langle p_{n},xp_{s}\rangle _{W^{n,2}}$

Следовательно, ни теорема Фавара , ни трехчленная повторяемость, ни формула Кристоффеля-Дарбу не верны. Однако существуют и другие рекурсивные формулы для определенных типов мер.

• По этому делу существует много литературы $n=1$.

Литература

• Марселлан, Франциско; Сюй, Юань (2015). «Об ортогональных полиномах Соболева». Математические изложения . 33 (3): 308–352. arXiv : 1403.6249 .
• Марселлан, Франциско; Морено-Балькасар, Хуан (2017). «ЧТО ТАКОЕ... ортогональный многочлен Соболева?» . Уведомления Американского математического общества . 64 : 873–875. дои : 10.1090/noti1562 .