Условие Чепмена – Жуге

Условие Чепмена-Жуге приблизительно выполняется в детонационных волнах бризантных взрывчатых веществ . В нем говорится, что детонация распространяется со скоростью , при которой реагирующие газы едва достигают звуковой скорости (в рамках лидирующей ударной волны ), когда реакция прекращается.

Дэвид Чепмен и Эмиль Жуге первоначально (ок. 1900 г.) сформулировал условие бесконечно тонкой детонации. Физическая интерпретация состояния обычно основывается на более позднем моделировании (ок. 1943 г.) Якова Борисовича Зельдовича , Джон фон Нейман , и Вернер Дёринг (так называемая модель детонации ЗНД ).

Более подробно (в модели ЗНД) в рамках головного скачка детонационной волны газы входят со сверхзвуковой скоростью и сжимаются через скачок скачка до высокоплотного дозвукового потока. Это внезапное изменение давления инициирует химическое (или иногда, как при паровых взрывах , физическое) выделение энергии. Высвобождение энергии вновь ускоряет поток до местной скорости звука. На основании одномерных уравнений газа для установившегося потока можно довольно просто показать, что реакция должна прекратиться в звуковой («CJ») плоскости, иначе будут наблюдаться скачкообразно большие градиенты в этой точке давления.

Звуковая плоскость образует так называемую дроссельную точку, которая позволяет свинцовой ударной волне и зоне реакции двигаться с постоянной скоростью, не мешая расширению газов в области разрежения за пределами плоскости CJ.

Эта простая одномерная модель вполне успешно объясняет детонацию. Однако наблюдения за структурой реальных химических детонаций показывают сложную трехмерную структуру: части волны движутся быстрее среднего, а другие медленнее. Действительно, такие волны затухают по мере разрушения их структуры. Теория детонации Вуда – Кирквуда может исправить некоторые из этих ограничений.

Математическое описание

Источник:

Уравнение линии Рэлея и уравнение кривой Гюгонио, полученные из соотношений Рэнкина-Гюгонио для идеального газа в предположении постоянной удельной теплоемкости и постоянной молекулярной массы соответственно, равны

${\begin{aligned}{\frac {{\tilde {p}}-1}{{\tilde {v}}-1}}&=-\mu \\{\tilde {p}}&={\frac {[2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)]-{\tilde {v}}}{[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {v}}-1}},\end{aligned}}$

где $\gamma$ - удельная теплоемкость и

${\tilde {p}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\tilde {v}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}},\quad \alpha ={\frac {q\rho _{1}}{p_{1}}},\quad \mu ={\frac {m^{2}}{p_{1}\rho _{1}}}.$

Здесь индексы 1 и 2 обозначают свойства потока (давление $p$, плотность $\rho$) вверх и вниз по течению от волны и $m$ постоянный массовый поток и $q$ это тепло, выделяющееся в волне. Наклоны линии Рэлея и кривой Гюгонио равны

${\begin{aligned}{\frac {d{\tilde {p}}}{d{\tilde {v}}}}&={\frac {{\tilde {p}}-1}{{\tilde {v}}-1}},\\[3pt]{\frac {d{\tilde {p}}}{d{\tilde {v}}}}&=-{\frac {[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {p}}+1}{[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {v}}-1}}.\end{aligned}}$⋅

В точке Чепмена-Жуге оба наклона равны, что приводит к условию, что

${\tilde {p}}={\frac {\tilde {v}}{(\gamma +1){\tilde {v}}-\gamma }}.$

Подставив это обратно в уравнение Рэлея, мы находим

$\mu =\gamma {\frac {\tilde {p}}{\tilde {v}}}.$

Использование определения массового потока $m\equiv \rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}$, где $u$ обозначает скорость потока, находим

$M_{2}={\frac {u_{2}}{c_{2}}}=1$

где $M$ - число Маха и $c$ — скорость звука , другими словами, поток ниже по течению является звуковым по отношению к волне Чепмена-Жуге. Можно получить явное выражение для переменных,

${\begin{aligned}{\tilde {p}}_{\pm }&=1+\alpha (\gamma -1)\left\{1\pm \left[1+{\frac {2\gamma }{\alpha \left(\gamma ^{2}-1\right)}}\right]^{\frac {1}{2}}\right\},\\{\tilde {v}}_{\pm }&=1+{\frac {\alpha \left(\gamma -1\right)}{\gamma }}\left\{1\mp \left[1+{\frac {2\gamma }{\alpha \left(\gamma ^{2}-1\right)}}\right]^{\frac {1}{2}}\right\},\\\mu _{\pm }&=\gamma +\alpha (\gamma ^{2}-1)\left\{1\pm \left[1+{\frac {2\gamma }{\alpha \left(\gamma ^{2}-1\right)}}\right]^{\frac {1}{2}}\right\}.\end{aligned}}$

Верхний знак относится к верхней точке Чепмена-Жуге ( детонация ), а нижний знак относится к нижней точке Чепмена-Жуге ( дефлаграция ). Точно так же число Маха на входе можно найти из

$M_{1\pm }=\left[1+{\frac {\alpha \left(\gamma ^{2}-1\right)}{2\gamma }}\right]^{\frac {1}{2}}\pm \left[{\frac {\alpha \left(\gamma ^{2}-1\right)}{2\gamma }}\right]^{\frac {1}{2}}$

и соотношение температур ${\tilde {T}}=T_{2}/T_{1}$ можно найти из соотношения ${\tilde {T}}={\tilde {p}}{\tilde {v}}$.

См. также

• Taylor–von Neumann–Sedov blast wave
• Поток Зельдовича – Тейлора

Дальнейшее чтение

• Боуэн, Э.Дж. (1958). «Дэвид Леонард Чепмен 1869–1958» . Биографические мемуары членов Королевского общества . 4 : 34–44. дои : 10.1098/rsbm.1958.0004 .
• Жак Шарль Эмиль Жуге (1871–1943) (на французском языке), annales.org
• Гинзбург, В.Л. (1994). «Яков Борисович Зельдович. 8 марта 1914 г. – 2 декабря 1987 г.» . Биографические мемуары членов Королевского общества . 40 : 430–441. дои : 10.1098/rsbm.1994.0049 .