Проблема с углом часов

На схеме показаны углы, образованные стрелками аналоговых часов, показывающих время 2:20.

Задачи об угле часов — это тип математической задачи , которая включает в себя нахождение угла между стрелками аналоговых часов .

Математическая задача

Проблемы с часовым углом связаны с двумя разными измерениями: углами и временем . Угол обычно измеряется в градусах от отметки номер 12 по часовой стрелке. Время обычно указывается в 12-часовом формате .

Метод решения таких задач состоит в рассмотрении скорости изменения угла в градусах в минуту. Часовая стрелка обычных 12-часовых аналоговых часов поворачивается на 360° за 12 часов (720 минут) или 0,5° в минуту. Минутная стрелка поворачивается на 360° за 60 минут или 6° в минуту.

Уравнение угла часовой стрелки

$\theta _{\text{hr}}=0.5^{\circ }\times M_{\Sigma }=0.5^{\circ }\times (60\times H+M)$

где:

• θ — угол в градусах, измеренный по часовой стрелке от 12-го угла.
• Н – час.
• М – минуты после часа.
• M _Σ – количество минут с 12 часов. $M_{\Sigma }=(60\times H+M)$

Уравнение угла минутной стрелки

$\theta _{\text{min.}}=6^{\circ }\times M$

где:

• θ — угол в градусах, измеренный по часовой стрелке от положения «12 часов».
• М – минута.

Пример

Время 5:24. Угол часовой стрелки в градусах равен:

$\theta _{\text{hr}}=0.5^{\circ }\times (60\times 5+24)=162^{\circ }$

Угол минутной стрелки в градусах равен:

$\theta _{\text{min.}}=6^{\circ }\times 24=144^{\circ }$

Уравнение угла между руками

Угол между руками можно найти по следующей формуле:

${\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert \theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H+M)-6^{\circ }\times M\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H+M)-0.5^{\circ }\times 12\times M\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H-11\times M)\vert \\\end{aligned}}$

где

• Ч - это час
• М - минута

Если угол больше 180 градусов, вычтите его из 360 градусов.

Пример 1

Время 2:20.

${\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times 2-11\times 20)\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (120-220)\vert \\&=50^{\circ }\end{aligned}}$

Пример 2

Время 10:16.

${\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times 10-11\times 16)\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (600-176)\vert \\&=212^{\circ }\ \ (>180^{\circ })\\&=360^{\circ }-212^{\circ }\\&=148^{\circ }\end{aligned}}$

Когда часовая и минутная стрелки часов накладываются друг на друга?

В этом графическом решении T обозначает время в часах; P , положения рук; и θ — углы положения рук в градусах. Красная (толстая сплошная) линия обозначает часовую стрелку; синие (тонкие сплошные) линии обозначают минутную стрелку. Их пересечения (красные квадраты) — это когда они совпадают. Кроме того, оранжевые кружки (пунктирная линия) — это когда руки находятся напротив, а розовые треугольники (пунктирная линия) — когда они перпендикулярны. В файле SVG наведите указатель мыши на график, чтобы отобразить положение стрелок на циферблате.

Часовая и минутная стрелки накладываются друг на друга только тогда, когда их угол одинаковый.

${\begin{aligned}\theta _{\text{min}}&=\theta _{\text{hr}}\\\Rightarrow 6^{\circ }\times M&=0.5^{\circ }\times (60\times H+M)\\\Rightarrow 12\times M&=60\times H+M\\\Rightarrow 11\times M&=60\times H\\\Rightarrow M&={\frac {60}{11}}\times H\\\Rightarrow M&=5.{\overline {45}}\times H\end{aligned}}$

H — целое число в диапазоне 0–11. Это дает время: 0:00, 1:05. 45 , 2:10. 90 , 3:16. 36 , 4:21. 81 , 5:27. 27 . 6:32. 72 , 7:38. 18 , 8:43. 63 , 9:49. 09 , 10:54. 54 и 12:00.(0,45 минуты — это ровно 27,27 секунды.)

См. также

• Положение часов

Внешние ссылки

• https://web.archive.org/web/20100615083701/http://delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm
• http://www.ldlewis.com/hospital_lock/ — подробный анализ угла часов
• https://web.archive.org/web/20100608044951/http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm