Многомасштабные подходы

гауссовского сглаживания Представление сигнала в масштабном пространстве, полученное с помощью , удовлетворяет ряду специальных свойств, аксиом масштабного пространства , которые превращают его в особую форму многомасштабного представления. Однако существуют и другие типы «многомасштабных подходов» в области компьютерного зрения , обработки изображений и обработки сигналов , в частности, понятие вейвлетов . Целью данной статьи является описание некоторых из этих подходов:

Теория масштабного пространства для одномерных сигналов

Для одномерных сигналов существует довольно хорошо разработанная теория непрерывных и дискретных ядер, гарантирующая, что новые локальные экстремумы или переходы через нуль не могут быть созданы с помощью операции свертки . Для непрерывных сигналов считается, что все ядра масштабного пространства можно разложить на следующие наборы примитивных ядер сглаживания:

• ядро Гаусса : $g(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}\exp({-x^{2}/2t})$ где $t>0$,
• усеченные экспоненциальные ядра (фильтры с одним вещественным полюсом в s -плоскости):

$h(x)=\exp({-ax})$ если $x\geq 0$ и 0 в противном случае, где $a>0$

$h(x)=\exp({bx})$ если $x\leq 0$ и 0 в противном случае, где $b>0$,

• переводы,
• масштабирование.

Для дискретных сигналов мы можем, с точностью до тривиальных трансляций и масштабирования, разложить любое ядро ​​дискретного масштабного пространства на следующие примитивные операции:

• дискретное ядро ​​Гаусса

$T(n,t)=I_{n}(\alpha t)$ где $\alpha ,t>0$ где $I_{n}$ – модифицированные функции Бесселя целого порядка,

• обобщенные биномиальные ядра, соответствующие линейному сглаживанию вида

$f_{out}(x)=pf_{in}(x)+qf_{in}(x-1)$ где $p,q>0$

$f_{out}(x)=pf_{in}(x)+qf_{in}(x+1)$ где $p,q>0$,

• рекурсивные фильтры первого порядка, соответствующие линейному сглаживанию вида

$f_{out}(x)=f_{in}(x)+\alpha f_{out}(x-1)$ где $\alpha >0$

$f_{out}(x)=f_{in}(x)+\beta f_{out}(x+1)$ где $\beta >0$,

• одностороннее ядро ​​Пуассона

$p(n,t)=e^{-t}{\frac {t^{n}}{n!}}$ для $n\geq 0$ где $t\geq 0$

$p(n,t)=e^{-t}{\frac {t^{-n}}{(-n)!}}$ для $n\leq 0$ где $t\geq 0$.

Из этой классификации очевидно, что нам нужна непрерывная структура полугруппы , существует только три класса ядер масштабного пространства с непрерывным масштабным параметром; ядро Гаусса, которое формирует масштабное пространство непрерывных сигналов, дискретное ядро ​​Гаусса, которое формирует масштабное пространство дискретных сигналов, и причинно-временное ядро ​​Пуассона, которое формирует временное масштабное пространство в дискретном времени. С другой стороны, если мы пожертвуем непрерывной полугрупповой структурой, появится больше вариантов:

Для дискретных сигналов использование обобщенных биномиальных ядер обеспечивает формальную основу для определения операции сглаживания в пирамиде. Для временных данных односторонние усеченные экспоненциальные ядра и рекурсивные фильтры первого порядка позволяют определить временные масштабные пространства. которые позволяют эффективно осуществлять численную реализацию и учитывать причинно-следственную связь с течением времени без доступа к будущему. Рекурсивные фильтры первого порядка также обеспечивают основу для определения рекурсивных аппроксимаций ядра Гаусса, которые в более слабом смысле сохраняют некоторые свойства масштабного пространства.

См. также

• Масштабировать пространство
• Масштабирование пространственной реализации
• Масштабно-пространственная сегментация