Аксиомы масштабного пространства

Масштабировать пространство
Аксиомы масштабного пространства
Масштабирование пространственной реализации
Обнаружение функций
Обнаружение края
Обнаружение больших двоичных объектов
Обнаружение углов
Обнаружение гребня
Обнаружение точек интереса
Выбор масштаба
Аффинная адаптация формы
Масштабно-пространственная сегментация

В обработке изображений и компьютерном зрении структура масштабного пространства может использоваться для представления изображения как семейства постепенно сглаженных изображений. Эта структура является очень общей, и существуют различные представления пространства масштаба . Типичный подход к выбору определенного типа представления масштабного пространства состоит в том, чтобы установить набор аксиом масштабного пространства , описывающих основные свойства желаемого представления масштабного пространства и часто выбираемых так, чтобы сделать представление полезным в практических приложениях. После установления аксиомы сужают возможные представления в масштабном пространстве до меньшего класса, обычно имеющего лишь несколько свободных параметров.

Набор аксиом стандартного масштабного пространства, обсуждаемый ниже, приводит к линейному гауссовскому масштабному пространству, которое является наиболее распространенным типом масштабного пространства, используемым при обработке изображений и компьютерном зрении.

Аксиомы масштабного пространства для линейного представления в масштабном пространстве

пространства линейного масштаба Представление $L(x,y,t)=(T_{t}f)(x,y)=g(x,y,t)*f(x,y)$ сигнала $f(x,y)$ полученное сглаживанием с помощью ядра Гаусса $g(x,y,t)$ удовлетворяет ряду свойств « аксиом масштабного пространства» , которые делают его особой формой многомасштабного представления:

линейность

$T_{t}(af+bh)=aT_{t}f+bT_{t}h$

где $f$ и $h$ являются сигналами, в то время как $a$ и $b$ являются константами,

сдвиговая инвариантность

$T_{t}S_{(\Delta x,\Delta _{y})}f=S_{(\Delta x,\Delta _{y})}T_{t}f$

где $S_{(\Delta x,\Delta _{y})}$ обозначает оператор сдвига (перевода) $(S_{(\Delta x,\Delta _{y})}f)(x,y)=f(x-\Delta x,y-\Delta y)$

полугрупповая структура

$g(x,y,t_{1})*g(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{1}+t_{2})$

со связанным свойством каскадного сглаживания

$L(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{2}-t_{1})*L(x,y,t_{1})$

существование бесконечно малого генератора $A$

$\partial _{t}L(x,y,t)=(AL)(x,y,t)$

отсутствие создания локальных экстремумов (переходов через нуль) в одном измерении,

отсутствие усиления локальных экстремумов в любом количестве измерений

$\partial _{t}L(x,y,t)\leq 0$ в пространственных максимумах и $\partial _{t}L(x,y,t)\geq 0$ в пространственных минимумах,

вращательная симметрия

$g(x,y,t)=h(x^{2}+y^{2},t)$ для какой-то функции $h$,

масштабная инвариантность

${\hat {g}}(\omega _{x},\omega _{y},t)={\hat {h}}({\frac {\omega _{x}}{\varphi (t)}},{\frac {\omega _{x}}{\varphi (t)}})$

для некоторых функций $\varphi$ и ${\hat {h}}$ где ${\hat {g}}$ обозначает преобразование Фурье $g$,

позитивность

$g(x,y,t)\geq 0$,

нормализация

$\int _{x=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{\infty }g(x,y,t)\,dx\,dy=1$.

Фактически, можно показать, что гауссово ядро ​​является уникальным выбором , учитывая несколько различных комбинаций подмножеств этих аксиом масштабного пространства: большинство аксиом (линейность, инвариантность к сдвигу, полугруппа) соответствуют масштабированию, являющемуся полугруппой линейного оператора, инвариантного к сдвигу, которому удовлетворяет ряд интегральных преобразований семейств , в то время как «несоздание локальных экстремумов» для одномерных сигналов или «неусиление локальных экстремумов» для сигналов более высокой размерности являются решающими аксиомами, которые связывают масштабные пространства со сглаживанием (формально, параболические уравнения в частных производных ) и, следовательно, выбирают гауссиану.

Ядро Гаусса также разделимо в декартовых координатах, т.е. $g(x,y,t)=g(x,t)\,g(y,t)$. Однако разделимость не считается аксиомой масштабного пространства, поскольку это свойство, зависящее от координат и связанное с проблемами реализации. Кроме того, требование разделимости в сочетании с вращательной симметрией само по себе фиксирует, что ядро ​​сглаживания является гауссовым.

Существует обобщение теории гауссовского масштабного пространства на более общие аффинные и пространственно-временные масштабные пространства. В дополнение к изменчивости по масштабу, для обработки которой была разработана оригинальная теория масштабного пространства, эта обобщенная теория масштабного пространства также включает в себя другие типы изменчивости, включая деформации изображения, вызванные вариациями просмотра, аппроксимируемыми локальными аффинными преобразованиями , и относительными движениями между объектами. в мире и наблюдателе, аппроксимированном локальными преобразованиями Галилея . В этой теории вращательная симметрия не навязывается как необходимая аксиома масштабного пространства, а вместо этого заменяется требованиями аффинной и/или галилеевой ковариантности. Обобщенная теория масштабного пространства приводит к предсказаниям о профилях рецептивных полей, которые хорошо качественно согласуются с профилями рецептивных полей, измеренными с помощью записей клеток с помощью биологического зрения.

В литературе по компьютерному зрению , обработке изображений и обработке сигналов существует множество других многомасштабных подходов, использующих вейвлеты и множество других ядер, которые не используют и не требуют тех же требований, что и масштабного пространства описания ; пожалуйста, ознакомьтесь со статьей о соответствующих многомасштабных подходах . Также проводилась работа над концепциями дискретного масштабного пространства, которые переносят свойства масштабного пространства в дискретную область; см. в статье о реализации масштабного пространства примеры и ссылки .

См. также

• Масштабирование пространственной реализации