BCK-алгебра
В математике алгебры BCI и BCK представляют собой алгебраические структуры в универсальной алгебре , которые были введены Ю. Имаи, К. Исеки и С. Танакой в 1966 году и описывают фрагменты исчисления высказываний, включающие импликацию, BCI и известные как логики BCK .
Определение [ править ]
Алгебра BCI [ править ]
Алгебра (в смысле универсальной алгебры) типа называется BCI-алгеброй , если для любого , он удовлетворяет следующим условиям. (Неофициально мы можем прочитать как «истина» и как " подразумевает ".)
- БКИ-1
- БКИ-2
- БКИ-3
- БКИ-4
- БКИ-5
BCK-алгебра [ править ]
BCI-алгебра называется BCK-алгеброй, если онаудовлетворяет следующему условию:
- БЦК-1
Тогда частичный порядок можно определить как x ≤ y тогда и только тогда, когда x * y = 0.
BCK-алгебра называется коммутативной, если она удовлетворяет следующим условиям:
В коммутативной BCK-алгебре x * ( x * y ) = x ∧ y — максимальная нижняя граница x и y при частичном порядке ≤.
BCK-алгебра называется ограниченной, если она имеет наибольший элемент, обычно обозначаемый 1. В ограниченной коммутативной BCK-алгебре наименьшая верхняя граница двух элементов удовлетворяет условию x ∨ y = 1 * ((1 * x ) ∧ ( 1 * у )); это делает его распределительной решеткой .
Примеры [ править ]
Каждая абелева группа является BCI-алгеброй, где * определяется как групповое вычитание, а 0 определяется как групповое тождество.
Подмножества множества образуют BCK-алгебру, где A*B — разность A\B (элементы из A, но не из B), а 0 — пустое множество .
Булева алгебра называется BCK-алгеброй, если A * B определяется как A ∧¬ B ( A не влечет за собой B ).
Ограниченные коммутативные BCK-алгебры — это в точности MV-алгебры .
Ссылки [ править ]
- Энджелл, РБ (1970), «Обзор нескольких статей по BCI, BCK-алгебрам», Журнал символической логики , 35 (3): 465–466, doi : 10.2307/2270728 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2270728
- Арай, Ёсинари; Исеки, Киёси; Танака, Сётаро (1966), «Характеристики BCI, BCK-алгебр» , Proc. Япония Акад. , 42 (2): 105–107, doi : 10.3792/pja/1195522126 , MR 0202572
- Ху, CS (2001) [1994], «Алгебра BCH» , Математическая энциклопедия , EMS Press
- Ху, CS (2001) [1994], «Алгебра BCI» , Математическая энциклопедия , EMS Press
- Ху, CS (2001) [1994], «Алгебра BCK» , Математическая энциклопедия , EMS Press
- Исеки, К.; Танака, С. (1978), «Введение в теорию BCK-алгебр», Math. Япония. , 23 : 1–26
- Ю. Хуан, BCI-алгебра , Science Press, Пекин, 2006.
- Имаи, Ю.; Исеки, К. (1966), «О системах аксиом исчисления высказываний, XIV» , Proc. Япония Акад. Сер. Математика. наук. , 42 : 19–22, дои : 10.3792/pja/1195522169
- Исеки, К. (1966), «Алгебра, связанная с исчислением высказываний» , Proc. Япония Акад. Сер. Математика. наук. , 42 : 26–29, doi : 10.3792/pja/1195522171