S-оценщик

Целью S-оценок является создание простой с высокой степенью разбивки оценки регрессии , которая разделяет гибкость и хорошие асимптотические свойства M-оценок . Название «S-оценщики» было выбрано, поскольку они основаны на оценках масштаба.

Мы будем рассматривать оценки масштаба, определяемые функцией $\rho$, которые удовлетворяют

• Р1 – $\rho$ симметричен, непрерывно дифференцируем и $\rho (0)=0$.
• R2 – существует $c>0$ такой, что $\rho$ строго увеличивается на $[c,\infty ]$

Для любого образца $\{r_{1},...,r_{n}\}$ действительных чисел, определим оценку масштаба $s(r_{1},...,r_{n})$ как решение

${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$,

где $K$ это ожидание математическое $\rho$ для стандартного нормального распределения . (Если решений приведенного выше уравнения больше, то берем то, у которого решение наименьшее для s; если решения нет, то полагаем $s(r_{1},...,r_{n})=0$ .)

Определение:

Позволять $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ быть выборкой данных регрессии с p-мерным $x_{i}$. Для каждого вектора $\theta$, получаем остатки $s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))$ решив уравнение масштаба, приведенное выше, где $\rho$ удовлетворяют R1 и R2. S-оценщик ${\hat {\theta }}$ определяется

${\hat {\theta }}=\min _{\theta }\,s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))$

и окончательная оценка масштаба ${\hat {\sigma }}$ тогда

${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$.