Jump to content

Расчет конструкций

В математической логике и информатике исчисление конструкций ( CoC ) — это теория типов, созданная Тьерри Кокандом . Он может служить как типизированным языком программирования , так и конструктивной основой математики . По этой второй причине CoC и его варианты легли в основу Coq и других помощников по доказательствам .

Некоторые из его вариантов включают исчисление индуктивных конструкций. [1] (которое добавляет индуктивные типы ), исчисление (ко)индуктивных конструкций (которое добавляет коиндукцию ) и предикативное исчисление индуктивных конструкций (которое устраняет некоторую непредикативность ).

Общие черты [ править ]

CoC — это типизированное лямбда-исчисление высшего порядка , первоначально разработанное Тьерри Кокандом . Он хорошо известен тем, что находится на вершине Барендрегта куба лямбда- . В CoC можно определять функции от терминов к терминам, а также термины к типам, типы к типам и типы к терминам.

Кодекс поведения является строго нормализующим и, следовательно, последовательным . [2]

Использование [ править ]

CoC был разработан вместе с Coq помощником по проверке доказательств . По мере того, как в теорию добавлялись функции (или устранялись возможные недостатки), они становились доступными в Coq.

Варианты CoC используются в других помощниках по доказательству, таких как Matita и Lean .

Основы строительного исчисления [ править ]

Исчисление конструкций можно рассматривать как расширение изоморфизма Карри–Говарда . Изоморфизм Карри-Ховарда связывает термин в просто типизированном лямбда-исчислении с каждым доказательством естественной дедукции в интуиционистской логике высказываний . Исчисление конструкций расширяет этот изоморфизм до доказательств в полном интуиционистском исчислении предикатов , которое включает в себя доказательства кванторных утверждений (которые мы также будем называть «предложениями»).

Условия [ править ]

Терм : в исчислении конструкций строится по следующим правилам

  • — это термин (также называемый типом );
  • — это термин (также называемый prop , тип всех предложений);
  • Переменные ( ) — термины;
  • Если и это термины, то и так ;
  • Если и это термины и является переменной, то следующие термины также являются термами:
    • ,
    • .

Другими словами, термин «синтаксис» в форме Бэкуса-Наура выглядит следующим образом:

Исчисление конструкций имеет пять видов объектов:

  1. доказательства , которые представляют собой термины, типами которых являются предложения ;
  2. предложения , которые также известны как малые типы ;
  3. предикаты — функции, возвращающие предложения;
  4. большие типы , которые являются типами предикатов ( является примером крупного типа);
  5. сам по себе, что является типом больших типов.

Решения [ править ]

Исчисление конструкций позволяет доказать типичные суждения :

,

что можно прочитать как импликацию

Если переменные имеют соответственно типы , то срок имеет тип .

Действительные суждения для исчисления конструкций выводятся из набора правил вывода. Далее мы используем означать последовательность присвоений типов ; означать термины; и означать либо или . Мы напишем означать результат замены термина для свободной переменной в срок .

Правило вывода записывается в виде

,

что означает

если является действительным суждением, то таковым является и .

Правила вывода для исчисления конструкций [ править ]

1 .

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

Определение логических операторов [ править ]

В исчислении конструкций очень мало основных операторов: единственным логическим оператором для формирования предложений является . Однако этого одного оператора достаточно для определения всех остальных логических операторов:

Определение типов данных [ править ]

Основные типы данных, используемые в информатике, можно определить в рамках исчисления конструкций:

логические значения
естественный
Продукт
Непересекающийся союз

Обратите внимание, что логические значения и натуральные значения определяются так же, как и в кодировке Чёрча . Однако дополнительные проблемы возникают из-за пропозициональной экстенсиональности и нерелевантности доказательств. [3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Исчисление индуктивных конструкций и основные стандартные библиотеки: Datatypes и Logic.
  2. ^ Коканд, Тьерри; Галье, Жан Х. (июль 1990 г.). «Доказательство сильной нормализации теории конструкций с использованием интерпретации типа Крипке» . Технические отчеты (СНГ) : 14.
  3. ^ «Стандартная библиотека | Помощник по проверке Coq» . coq.inria.fr . Проверено 8 августа 2020 г.

Источники [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0b66dea6f8e439e8deff3d3a2287ed09__1717092240
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0b/09/0b66dea6f8e439e8deff3d3a2287ed09.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Calculus of constructions - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)