Jump to content

Краевое сжатие

(Перенаправлено из «Сжатие (теория графов)
Стягивание ребра между указанными вершинами приводит к графу G/{uv}.

В теории графов сжатие ребра — это операция , которая удаляет ребро из графа и одновременно объединяет две вершины , которые оно ранее соединяло. Сжатие ребер — фундаментальная операция в теории миноров графов . Идентификация вершин является менее ограничительной формой этой операции.

Определение

[ редактировать ]

Операция сжатия ребра происходит относительно конкретного ребра, . Край удаляется и две инцидентные ему вершины, и , объединяются в новую вершину , где ребра, падающие на каждый соответствует ребру, инцидентному либо или . В более общем смысле, операцию можно выполнить над набором ребер путем сжатия каждого ребра (в любом порядке). [1]

Полученный график иногда записывается как . (Сравните это с , что означает простое удаление края без объединения его инцидентных вершин.)

Сжатие ребра без создания нескольких ребер.

Как определено ниже, операция сжатия ребер может привести к созданию графа с несколькими ребрами , даже если исходный граф был простым графом . [2] Однако некоторые авторы [3] запретить создание нескольких ребер, чтобы сжатие ребер, выполняемое на простых графах, всегда приводило к созданию простых графов.

Формальное определение

[ редактировать ]

Позволять быть графом ( или ориентированным графом ), содержащим ребро с . Позволять быть функцией, которая отображает каждую вершину в самому себе, а в противном случае отображает его в новую вершину . Сокращение приводит к новому графику , где , , и для каждого , инцидентен ребру тогда и только тогда, когда соответствующее ребро случается с в .

Идентификация вершин

[ редактировать ]

Идентификация вершин (иногда называемая сокращением вершин ) снимает ограничение, заключающееся в том, что сокращение должно происходить над вершинами, имеющими общее инцидентное ребро. (Таким образом, сжатие ребер является частным случаем идентификации вершин.) Операция может выполняться с любой парой (или подмножеством) вершин графа. Ребра между двумя сжимающимися вершинами иногда удаляются. Если и являются вершинами различных компонент , то мы сможем создать новый график путем выявления и в как новая вершина в . [4] В более общем смысле, учитывая раздел множества вершин, можно идентифицировать вершины в этом разделе; результирующий граф известен как факторграф .

Расщепление вершин

[ редактировать ]

Расщепление вершин , то же самое, что и разделение вершин, означает, что одна вершина разбивается на две, причем эти две новые вершины соседствуют с вершинами, с которыми была смежна исходная вершина. Это обратная операция идентификации вершин, хотя, как правило, для идентификации вершин соседние вершины двух идентифицированных вершин не являются одним и тем же набором.

Сокращение пути

[ редактировать ]

Сжатие пути происходит на наборе ребер пути , которые сжимаются, образуя одно ребро между конечными точками пути. Ребра, инцидентные вершинам пути, либо исключаются, либо произвольно (или систематически) соединяются с одной из конечных точек.

скручивание

[ редактировать ]

Рассмотрим два непересекающихся графа и , где содержит вершины и и содержит вершины и . Предположим, мы можем получить график путем определения вершин из и из как вершина из и определение вершин из и из как вершина из . В скручивании из относительно множества вершин , вместо этого мы определяем, с и с . [5]

Приложения

[ редактировать ]

Методы сжатия ребер и вершин полезны для доказательства путем индукции по количеству вершин или ребер в графе, где можно предположить, что свойство справедливо для всех меньших графов, и это можно использовать для доказательства свойства для большего графа.

Сжатие ребер используется в рекурсивной формуле для количества остовных деревьев произвольного связного графа : [6] и в рекуррентной формуле для хроматического полинома простого графа. [7]

Сокращение также полезно в структурах, где мы хотим упростить граф, идентифицируя вершины, которые представляют собой по существу эквивалентные объекты. Одним из наиболее распространенных примеров является приведение общего ориентированного графа к ациклическому ориентированному графу путем сжатия всех вершин в каждой сильно связной компоненте . Если отношение, описываемое графом, является транзитивным , никакая информация не теряется, пока мы помечаем каждую вершину набором меток вершин, которые были сокращены для ее формирования.

Другим примером является объединение, выполняемое при распределении регистров глобальной раскраски графа , где вершины сжимаются (там, где это безопасно), чтобы исключить операции перемещения между различными переменными.

Сжатие ребер используется в пакетах 3D-моделирования (вручную или с помощью какой-либо функции программного обеспечения для моделирования) для последовательного уменьшения количества вершин, помогая создавать модели с низким содержанием полигонов.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Гросс и Йеллен 1998 , с. 264
  2. ^ Кроме того, петли могут возникать, когда граф начинался с нескольких ребер или, даже если граф был простым, из-за многократного применения сжатия ребер.
  3. ^ Розен 2011 , с. 664
  4. ^ Оксли 2006 , стр. 147–8 §5.3 Теорема Уитни о 2-изоморфизме
  5. ^ Оксли 2006 , с. 148
  6. ^ Гросс и Йеллен 1998 , с. 264
  7. ^ Запад 2001 , с. 221
  • Гросс, Джонатан; Йеллен, Джей (1998), Теория графов и ее приложения , CRC Press, ISBN  0-8493-3982-0
  • Оксли, Джеймс (2006) [1992], Теория матроидов , Oxford University Press, ISBN  978-0-19-920250-8
  • Розен, Кеннет (2011), Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-338309-5
  • Уэст, Дуглас Б. (2001), Введение в теорию графов (2-е изд.), Прентис-Холл, ISBN  0-13-014400-2
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0c73d56ce5228f6c04602815ea43a1af__1721261040
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0c/af/0c73d56ce5228f6c04602815ea43a1af.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Edge contraction - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)