Задача о трех чашках

Стандартное, неразрешимое расположение трех чашек. Здесь чашки A и C стоят вертикально, а B перевернуты.

Решаемый вариант проблемы. Здесь чашки А и С перевернуты, а чашка Б стоит вертикально.

Задача трех чашек , также известная как задача трех чашек и другие варианты, представляет собой математическую головоломку , которую в наиболее распространенной форме невозможно решить.

В исходном положении задачи одна чашка перевернута, а две другие — правой стороной вверх. Цель состоит в том, чтобы перевернуть все чашки правой стороной вверх не более чем за шесть ходов, переворачивая ровно две чашки за каждый ход.

Решаемая (но тривиальная) версия этой головоломки начинается с того, что одна чашка перевернута, а две чашки перевернуты. Чтобы решить головоломку за один ход, переверните две перевернутые чашки, после чего все три чашки повернутся вверх. В качестве фокуса фокусник может замысловатым образом выполнить разрешимую версию, а затем попросить зрителя решить неразрешимую версию.

Доказательство невозможности

Чтобы увидеть, что проблема неразрешима (начиная с одной перевернутой чашки), достаточно сконцентрироваться на количестве чашек, перевернутых вверх дном. Обозначив это число через $W$, цель задачи – изменить $W$ от 1 до 0, т.е. $-1$. Проблема неразрешима, потому что любой ход меняет $W$ на четное число. Так как ход переворачивает две чашки и каждая инверсия меняется $W$ к $+1$ (если чашка была в правильном положении) или $-1$ (иначе) ход меняется $W$ на сумму двух нечетных чисел, которая является четной, что завершает доказательство.

Другой взгляд заключается в том, что вначале 2 чашки расположены в «правильной» ориентации, а 1 — «неправильной». Поменяв 1 правый стакан и 1 неправильный, ситуация остаётся прежней. Изменение 2 правильных чашек приводит к ситуации с 3 неправильными чашками, после чего следующий ход восстанавливает исходное состояние 1 неправильной чашки. Таким образом, любое количество ходов приводит к ситуации либо с 3 ошибками, либо с 1 ошибкой, но никогда с 0 ошибками.

В более общем смысле этот аргумент показывает, что для любого количества чашек невозможно уменьшить $W$ до 0, если оно изначально нечетное. С другой стороны, если $W$ четно, переворачивание чашек по две за раз в конечном итоге приведет к $W$ равный 0.

Ссылки

• «Сможете ли вы решить задачу о трех чашках?» . АВС Образование . Проверено 26 октября 2018 г.

См. также

• Список невозможных головоломок
• Головоломка
• Рекреационная математика