Сетевое исчисление

Сетевое исчисление — это «набор математических результатов, которые дают представление о созданных человеком системах, таких как параллельные программы , цифровые схемы и сети связи ». Сетевое исчисление дает теоретическую основу для анализа гарантий производительности в компьютерных сетях . Когда трафик проходит через сеть, на него накладываются ограничения, налагаемые компонентами системы, например:

• канала передачи данных пропускная способность
• формирователи трафика ( дырявые ведра )
• контроль перегрузок
• фоновый трафик

Эти ограничения можно выразить и проанализировать с помощью методов сетевого исчисления. Кривые ограничений можно комбинировать с помощью свертки в рамках алгебры мин-плюс . Сетевое исчисление также можно использовать для выражения функций прибытия и отправления трафика, а также кривых обслуживания.

В исчислении используются «альтернативные алгебры... для преобразования сложных нелинейных сетевых систем в аналитически управляемые линейные системы».

В настоящее время существуют две ветви сетевого исчисления: одна занимается детерминированными границами, а другая — стохастическими границами.

Системное моделирование

Моделирование потока и сервера

В сетевом исчислении поток моделируется как кумулятивная функция A , где A(t) представляет собой объем данных (например, количество битов), отправленных потоком в интервале [0,t) . Такие функции неотрицательны и неубывают. Временная область часто представляет собой набор неотрицательных действительных чисел.

Кривая прибытия и отправления на входе и выходе сервера.

$A:\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$

$\forall u,t\in \mathbb {R} ^{+}:u<t\implies A(u)\leq A(t)$

Сервер может быть каналом связи, планировщиком, формирователем трафика или целой сетью. Это просто моделируется как отношение между некоторой кумулятивной кривой прибытия A и некоторой кумулятивной кривой D. отправления Требуется, чтобы A ≥ D , чтобы смоделировать тот факт, что отправка некоторых данных не может произойти до их поступления.

Моделирование отставания и задержки

Учитывая некоторую кривую прибытия и отправления A и D , отставание в любой момент t , обозначенное b(A,D,t), быть определено как разница между A и D. может Задержка в момент t , d(A,D,t) определяется как минимальный промежуток времени, в течение которого функция отправления достигла функции прибытия. При рассмотрении целых потоков верхняя граница используется этих значений.

Горизонтальное и вертикальное отклонение между кумулятивными кривыми прибытия и отправления

$b(A,D,t):=A(t)-D(t)$

$d(A,D,t):=\inf \left\{d\in \mathbb {R} ^{+}~s.t.~D(t+d)\geq A(t)\right\}$

$b(A,D):=\sup _{t\geq 0}\left\{A(t)-D(t)\right\}$

$d(A,D):=\sup _{t\geq 0}\left\{\inf \left\{d\in \mathbb {R} ^{+}~s.t.~D(t+d)\geq A(t)\right\}\right\}$

В общем, потоки точно не известны, известны только некоторые ограничения на потоки и серверы (например, максимальное количество пакетов, отправленных за определенный период, максимальный размер пакетов, минимальная пропускная способность канала). Целью сетевого исчисления является вычисление верхних границ задержки и невыполненной работы на основе этих ограничений. Для этого в сетевом исчислении используется алгебра мин-плюс.

Мин-плюс полукольцо

В сетевом исчислении интенсивно используется полукольцо мин-плюс (иногда называемое алгеброй мин-плюс).

В теории фильтров и теории линейных систем свертка двух функций $f$ и $g$ определяется как

$(f\ast g)(t):=\int _{0}^{t}f(\tau )\cdot g(t-\tau )d\tau$

В -плюс сумма полукольце мин заменяется оператором минимума или инфимума , а произведение заменяется суммой . Итак, мин-плюс свертка двух функций $f$ и $g$ становится

$(f\otimes g)(t):=\inf _{0\leq \tau \leq t}\left\{f(\tau )+g(t-\tau )\right\}$

например, см. определение кривых обслуживания. Свертка и свертка мин-плюс имеют много общих алгебраических свойств. В частности, оба являются коммутативными и ассоциативными.

Так называемая операция деконволюции мин-плюс определяется как

$(f\oslash g)(t):=\sup _{\tau \geq 0}\left\{f(t+\tau )-g(\tau )\right\}$

например, как используется при определении конвертов трафика.

Вертикальные и горизонтальные отклонения можно выразить с помощью операторов мин-плюс.

$b(f,g)=(f\oslash g)(0)$

$d(f,g)=\inf\{w:(f\oslash g)(-w)\leq 0\}$

Конверты трафика

Кумулятивные кривые — это реальное поведение, неизвестное во время разработки. То, что известно, является некоторым ограничением. В сетевом исчислении используется понятие конверта трафика, также известное как кривые прибытия.

Говорят, что кумулятивная функция A соответствует огибающей E (также называемой кривой прибытия и обозначаемой α ), если для всех t выполняется условие

$E(t)\geq \sup _{\tau \geq 0}\{A(t+\tau )-A(\tau )\}=(A\oslash A)(t).$

Можно дать два эквивалентных определения.

$\forall t,d\in \mathbb {R} ^{+}:A(t+d)-A(t)\leq E(d)$

( 1 )

$A\leq A\otimes E$

( 2 )

образом, E накладывает верхнее ограничение на поток A. Таким Такую функцию E можно рассматривать как огибающую, которая определяет верхнюю границу количества битов потока, видимых в любом интервале длины d, начиная с произвольного t , ср. экв. ( 1 ).

Кривые обслуживания

Чтобы предоставить гарантии производительности потокам трафика, необходимо указать некоторую минимальную производительность сервера (в зависимости от резервирования в сети, политики планирования и т. д.). Кривые обслуживания служат средством выражения доступности ресурсов. Существует несколько видов кривых обслуживания, например, слабо строгие, узлы переменной мощности и т. д. См. для обзора.

Минимальный сервис

Пусть A — входящий поток, приходящий на вход сервера, а D — поток, уходящий на выход. Говорят, что система обеспечивает простую минимальную кривую обслуживания S для пары (A,B) , если для всех t выполняется условие $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$

Строгий минимальный сервис

Пусть A — входящий поток, приходящий на вход сервера, а D — поток, уходящий на выход. Период отставания — это интервал I такой, что для любого t ∈ I A (t)>D(t) .

Говорят, что система обеспечивает строгую минимальную кривую обслуживания S для пары (A,B) тогда и только тогда, когда $\forall s,t\in \mathbb {R} ^{+}$, такой, что $s\leq t$, если $(s,t]$ это период отставания, то $D(t)-D(s)\geq S(t-s)$.

Если сервер предлагает строгий минимальный сервис по кривой S , он также предлагает простой минимальный сервис по S. кривой

Обозначения

В зависимости от авторов, от цели статьи для одного и того же понятия используются разные обозначения или даже названия.

Основные обозначения сетевого исчисления

Название(а) понятия	Обозначения	Комментарии
Кумулятивная кривая	$R,A,F$	Первые документы использовали $R$, но $F$ используется для F low, и $A$ для прибытия .
Пара входных/выходных кривых	$(R_{in},R_{out})$ $(R,R^{*})$, $(A,D)$, $(F^{in},F^{out})$	Пара кривых ввода/вывода изначально обозначалась $(R,R^{*})$. Именование $(A,D)$ означает прибытие и отъезд . Затем назвав $(F^{in},F^{out})$ имена входных и выходных потоков.
Конверт, кривая прибытия	$E,\alpha$	Авторы, использующие термин «Конверт», также используют $E$и наоборот с «Кривой прибытия» и $\alpha$.
Кривая обслуживания	$S,\beta$	Авторы обычно используют оба $E,S$ или оба $\alpha ,\beta$
Задержка, горизонтальное отклонение	$d(A,D),h(A,D),hDev(A,D)$	Термин «горизонтальное отклонение» подчеркивает математическое определение, тогда как термин «задержка» подчеркивает семантику.
Отставание, вертикальное отклонение	$b(A,D),v(A,D),vDev(A,D)$	Термин «вертикальное отклонение» подчеркивает математическое определение, тогда как «отставание» подчеркивает семантику.
Свертка	$*,\otimes$
Деконволюция	$\oslash$

Основные результаты: границы производительности и распространение конвертов

Из конверта трафика и кривых обслуживания можно вычислить некоторые границы задержки и задержки, а также конверт потока вылета.

Пусть A — входящий поток, приходящий на вход сервера, а D — поток, уходящий на выход. Если поток представляет собой конверт трафика E , а сервер обеспечивает минимальное обслуживание кривой S , то отставание и задержка могут быть ограничены:

$b(A,D)\leq b(E,S)$

$d(A,D)\leq d(E,S)$

Более того, кривая отклонения имеет огибающую $E'=E\oslash S$.

Более того, эти границы точны , т.е. при наличии некоторых E и S можно построить прибытие и отправление так, что b(A,D) = b(E,S) и v(A,D) = v(E,S) .

Конкатенация / PBOO

Рассмотрим последовательность из двух серверов, когда выход первого является входом второго. Эту последовательность можно рассматривать как новый сервер, созданный как объединение двух других.

Тогда, если первый (соответственно второй) сервер предлагает простую минимальную услугу $S_{1}$ (соответственно $S_{2}$), тогда объединение обоих предлагает простой минимальный сервис $S_{e2e}=S_{1}\otimes S_{2}$.

Последовательность двух серверов

Доказательство состоит в итеративном применении определения кривых обслуживания. $X\geq A\otimes S_{1}$, $D\geq X\otimes S_{2}$ и некоторые свойства свертки, изотоничности ( $D\geq (X\otimes S_{2})\otimes S_{1}$) и ассоциативность ( $D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1})$).

Интерес этого результата состоит в том, что граница сквозной задержки не превышает сумму локальных задержек: $d(E,S_{2}\otimes S_{1})\leq d(E,S_{1})+d(E\oslash S_{1},S_{2})$.

Этот результат известен как пакет выплат только один раз (PBOO).

Инструменты

Существует несколько инструментов, основанных на сетевом исчислении. Сравнение можно найти в.

Мин-плюс расчет

Существует несколько инструментов и библиотек, посвященных алгебре мин-плюс.

• Интерпретатор сетевого исчисления — это онлайн-интерпретатор (мин,+).
• Нэнси — это библиотека C#, реализующая операции мин-плюс и макс-плюс.
• MIN-plus ExpRession VERification (Minerve) — это библиотека Coq, используемая для проверки достоверности операций min-plus.

Все эти инструменты и библиотеки основаны на алгоритмах, представленных в.

Инструменты сетевого анализа

• DiscoDNC — это академическая реализация платформы сетевого исчисления на языке Java.
• RTC Toolbox — это академическая реализация Java/ MATLAB структуры исчисления в реальном времени, теории, квазиэквивалентной сетевому исчислению.
• CyNC ​ Tool — это академический набор инструментов MATLAB /Symulink, основанный на RTC Toolbox . Инструмент был разработан в 2004-2008 годах и в настоящее время используется для преподавания в Ольборгском университете .
• RTaW -PEGASE — это промышленный инструмент, предназначенный для временного анализа коммутируемой сети Ethernet (AFDX, промышленный и автомобильный Ethernet), основанный на сетевом исчислении.
• WOPANets . — это академический инструмент, сочетающий в себе анализ, основанный на сетевом исчислении, и анализ оптимизации
• DelayLyzer — это промышленный инструмент, предназначенный для вычисления границ сетей Profinet.
• DEBORAH — академический инструмент, посвященный сетям FIFO.
• NetCalBounds — это академический инструмент, посвященный слепым тандемным сетям и сетям FIFO.
• NCBounds — это инструмент сетевого исчисления на Python, опубликованный под лицензией BSD 3-Clause. Он учитывает серверы скорости и задержки и кривые поступления токенов. Он обрабатывает любую топологию, включая циклическую.
• Планировщик сети Siemens ( SINETPLAN ) использует сетевые расчеты (среди других методов) для проектирования сети PROFINET .
• экспериментальный модульный TFA (xTFA) — код Python, поддержка докторской диссертации Людовика Томаса.
• Panco — это код Python, который вычисляет границы сетевого исчисления с помощью методов линейного программирования.
• Saihu — это интерфейс Python, который объединяет три инструмента сетевого анализа для наихудшего случая: xTFA, DiscoDNC и Panco .
• CCAC — это инструмент на основе SMT-решателя для проверки характеристик производительности алгоритмов управления перегрузкой (CCA) с использованием модели, подобной сетевому исчислению.

События

Мастерская WoNeCa — это мастер по электронному расчету - класс . Он организуется каждые два года, чтобы собрать вместе исследователей, интересующихся теорией сетевого исчисления, а также тех, кто хочет применить существующие результаты к новым приложениям. Семинар также способствует популяризации теории сетевого исчисления среди исследователей, интересующихся прикладными моделями массового обслуживания.

• WoNeCa6 , организованный EPFL , пройдет 8 и 9 сентября 2022 года в Лозанне, Швейцария. Звонок для презентации здесь .
• WoNeCa5 проводился виртуально из-за пандемии COVID-19 9 октября 2020 года.
• WoNeCa4 был организован в рамках 19-й Международной конференции GI/ITG по измерению, моделированию и оценке вычислительных систем (MMB2018) 28 февраля 2018 года в Эрлангене, Германия.
• WoNeCa3 прошел в рамках конференции MMB & DFT 2016 6 апреля 2016 года в Мюстере, Германия.
• WoNeCa2 прошел в рамках конференции MMB & DFT 2014 19 марта 2014 года в Бамберге, Германия.
• WoNeCa1 был организован Университетом Кайзерслаутерна и прошел в рамках MMB2012 21 марта 2012 года в Кайзерслаутерне, Германия.

В 2018 году (ITC 30) прошел Международный семинар по сетевому исчислению и приложениям в Вене, Австрия, в рамках 30-го Международного конгресса по телетрафику (NetCal 2018) .

В 2024 году семинар Дагштуля по сетевому исчислению (24141) проходил с 1 по 4 апреля в Дагштуле, Германия.

Ссылки

Книги, обзоры и учебные пособия по сетевому исчислению

• К.-С. Чанг: Гарантии производительности в сетях связи , Springer, 2000.
• Ж.-Ю. Ле Будек и П. Тиран: Сетевое исчисление: теория детерминированных систем массового обслуживания для Интернета , Springer, LNCS, 2001 (доступно в Интернете).
• А. Буйар, М. Бойер, Э. Ле Коррон: Детерминистическое сетевое исчисление: от теории к практической реализации , Wiley-ISTE, 2018
• Ю. Цзян и Ю. Лю: стохастическое сетевое исчисление , Springer, 2008.
• А. Кумар, Д. Манджунат и Дж. Кури: Коммуникационные сети: аналитический подход , Elsevier, 2004.
• С. Мао и С. Панвар: Обзор конвертирующих процессов и их применения в обеспечении качества услуг , Обзоры и учебные пособия IEEE Communications, 8(3):2-20, июль 2006 г.
• М. Фидлер: Обзор детерминистических и стохастических моделей кривой обслуживания в сетевом исчислении , IEEE Communications Surveys and Tutorials, 12(1):59-86, январь 2010 г.
• К. Линь, Ю. Дэн и Ю. Цзян: О применении стохастического сетевого исчисления , Frontiers Computer Science, 7(6): 924-942, 2013 г.
• М. Фидлер и А. Ризк: Руководство по стохастическому сетевому исчислению , Обзоры и учебные пособия IEEE Communications, 17(1):92-105, март 2015 г.
• Л. Мэйл, К. Хильшер и Р. Герман: Результаты сетевого расчета для TSN: введение , Конференция IEEE по информационным коммуникационным технологиям (1): 131-140, май 2020 г.

Похожие книги по алгебре макс-плюс или выпуклой минимизации

• RT Rockafellar : Выпуклый анализ , Princeton University Press, 1972.
• Ф. Бачелли, Г. Коэн, Г. Дж. Олсдер и Ж.-П. Квадрат: Синхронизация и линейность: алгебра для систем дискретных событий , Wiley, 1992.
• V. N. Kolokol'tsov, Victor P. Maslov: Idempotent Analysis and Its Applications , Springer, 1997. ISBN   0792345096 .

Детерминированное сетевое исчисление

• Р. Л. Круз: Расчет сетевой задержки. Часть I: Сетевые элементы в изоляции и Часть II: Сетевой анализ , Транзакции IEEE по теории информации, 37(1):114-141, январь 1991 г.
• А. К. Парех и Р. Г. Галлагер: Обобщенный подход к совместному использованию процессоров для управления потоками: случай с несколькими узлами , Транзакции IEEE в сети, 2 (2): 137-150, апрель 1994 г.
• К.-С. Чанг: Стабильность, длина очереди и задержка детерминированных и стохастических сетей массового обслуживания , Транзакции IEEE при автоматическом управлении, 39(5):913-931, май 1994 г.
• Д. Е. Реге, Э. В. Найтли, Х. Чжан и Дж. Либехерр: Детерминированные границы задержки для видео VBR в сетях с коммутацией пакетов: фундаментальные ограничения и практические компромиссы , Транзакции IEEE/ACM в сети, 4(3):352-362, июнь .1996.
• Р.Л. Круз: SCED+: Эффективное управление гарантиями качества обслуживания , IEEE INFOCOM, стр. 625–634, март 1998 г.
• Ж.-Ю. Ле Будек: Применение сетевого исчисления к сетям с гарантированным обслуживанием , Транзакции IEEE по теории информации, 44(3):1087-1096, май 1998 г.
• К.-С. Чанг: О детерминированном регулировании трафика и гарантиях обслуживания: систематический подход путем фильтрации , Транзакции IEEE по теории информации, 44(3):1097-1110, май 1998 г.
• Р. Агравал, Р.Л. Круз, К. Окино и Р. Раджан: Границы производительности для протоколов управления потоком , Транзакции IEEE/ACM в сети, 7(3):310-323, июнь 1999 г.
• Ж.-Ю. Ле Будек: Некоторые свойства формирователей пакетов переменной длины , Транзакции IEEE/ACM в сети, 10(3):329-337, июнь 2002 г.
• К.-С. Чанг, Р.Л. Круз, Ж.-Ю. Ле Будек и П. Тиран: Минимум + Теория систем для ограниченного регулирования трафика и динамических гарантий обслуживания , Транзакции IEEE/ACM в сети, 10(6):805-817, декабрь 2002 г.
• Ю. Цзян: Взаимосвязь между сервером гарантированной скорости и сервером скорости задержки , Computer Networks 43(3): 307-315, 2003.
• М. Фидлер и С. Рекер: Исчисление сопряженных сетей: двойной подход с применением преобразования Лежандра , Computer Networks, 50(8):1026-1039, июнь 2006 г.
• Эйтан Альтман, Костя Авраченков и Чади Баракат: Сетевое исчисление TCP: Случай продукта с большой задержкой полосы пропускания , Материалы IEEE INFOCOM, Нью-Йорк, июнь 2002 г.
• Дж. Либехерр: Двойственность сетевого исчисления Макс-Плюс и Мин-Плюс , Основы и тенденции в сетевых технологиях 11 (3-4): 139-282, 2017.

Сетевые топологии, сети прямого распространения

• А. Чарни и Ж.-Ю. Ле Будек: Границы задержки в сети с агрегированным планированием , QoFIS, стр. 1–13, сентябрь 2000 г.
• Д. Старобински, М. Карповский и Л. Закревски: Применение сетевого исчисления к общим топологиям с использованием запрета поворота , Транзакции IEEE/ACM в сети, 11(3):411-421, июнь 2003 г.
• М. Фидлер: Управление доступом на основе параметров для сетей с дифференцированными услугами , Computer Networks, 44(4):463-479, март 2004 г.
• Л. Ленцини, Л. Марторини, Э. Мингоцци и Г. Стеа: Жесткие границы сквозной задержки для каждого потока в сетях приемного дерева с мультиплексированием FIFO , Оценка производительности, 63 (9-10): 956-987, Октябрь 2006 г.
• Дж. Шмитт, Ф. Здарски и М. Фидлер: Границы задержки при произвольном мультиплексировании: когда сетевое исчисление оставляет вас в беде... , Проф. IEEE Infocom, апрель 2008 г.
• А. Буйяр, Л. Жуэ и Э. Тьерри: Жесткие границы производительности при анализе сетей с прямой связью в наихудшем случае , Proc. IEEE Infocom, апрель 2010 г.

Идентификация системы на основе измерений

• К. Четинкая, В. Канодиа и Э. В. Найтли: Масштабируемые услуги посредством контроля доступа на выходе , IEEE Transactions on Multimedia, 3(1):69-81, март 2001 г.
• С. Валаи и Б. Ли: Распределенный контроль допуска вызовов для одноранговых сетей , Proc. IEEE VTC, стр. 1244–1248, 2002 г.
• А. Ундхейм, Ю. Цзян и П. Дж. Эмстад. Подход сетевого исчисления к моделированию маршрутизатора с использованием внешних измерений , Учеб. Второй международной конференции IEEE по коммуникациям и сетям в Китае (Chinacom), август 2007 г.
• Дж. Либехерр, М. Фидлер и С. Валаи: Теоретико-системный подход к оценке пропускной способности , IEEE Transactions on Networking, 18(4):1040-1053, август 2010 г.
• М. Бредель, З. Бозаков и Ю. Цзян: Анализ производительности маршрутизатора с помощью сетевого расчета с внешними измерениями , Учеб. IEEE IWQoS, июнь 2010 г.
• Р. Лаббен, М. Фидлер и Дж. Либехерр: Стохастическая оценка пропускной способности в сетях со случайным обслуживанием , IEEE Transactions on Networking, 22(2):484-497, апрель 2014 г.

Стохастическое сетевое исчисление

• О. Ярон и М. Сиди: Производительность и стабильность сетей связи через надежные экспоненциальные границы , Транзакции IEEE/ACM в сети, 1(3):372-385, июнь 1993 г.
• Д. Старобински и М. Сиди: Стохастически ограниченная импульсность для сетей связи , Транзакции IEEE по теории информации, 46(1):206-212, январь 2000 г.
• К.-С. Чанг: Стабильность, длина очереди и задержка детерминированных и стохастических сетей массового обслуживания , Транзакции IEEE при автоматическом управлении, 39(5):913-931, май 1994 г.
• Р.-Р. Бурстин, А. Бурхард , Дж. Либехерр и К. Оттамакорн: Статистические гарантии обслуживания для алгоритмов планирования трафика , Журнал IEEE по выбранным областям связи, 18 (12): 2651-2664, декабрь 2000 г.
• Ц. Инь, Ю. Цзян, С. Цзян и П. Я. Конг: Анализ обобщенного стохастически ограниченного пакетного трафика для сетей связи , IEEE LCN, стр. 141–149, ноябрь 2002 г.
• К. Ли, А. Бурхард и Дж. Либехерр: Сетевой расчет с эффективной пропускной способностью , Университет Вирджинии, Технический отчет CS-2003-20, ноябрь 2003 г.
• Ю. Цзян: Базовое стохастическое сетевое исчисление , ACM SIGCOMM 2006.
• А. Бурхард , Дж. Либехерр и С.Д. Патек: расчет «мин-плюс» для гарантий сквозного статистического обслуживания , IEEE Transactions on Information Theory, 52(9):4105–4114, сентябрь 2006 г.
• Ф. Чуку, А. Бурхард и Дж. Либехерр: Подход к кривым сетевых услуг для стохастического анализа сетей , Транзакции IEEE/ACM в сети, 52(6):2300–2312, июнь 2006 г.
• М. Фидлер: Сквозное вероятностное сетевое исчисление с функциями, генерирующими моменты , IEEE IWQoS, июнь 2006 г.
• Ю. Лю, К.-К. Тэм и Ю. Цзян: Расчет стохастического анализа QoS , Performance Evaluation, 64(6): 547-572, 2007.
• Ю. Цзян и Ю. Лю: стохастическое сетевое исчисление , Springer, 2008.

Расчет беспроводной сети

• М. Фидлер: Подход сетевого исчисления к вероятностному анализу качества обслуживания затухающих каналов , Proc. IEEE Globecom, ноябрь 2006 г.
• К. Махмуд, А. Ризк и Ю. Цзян: О задержке на уровне потока беспроводного канала MIMO с пространственным мультиплексированием , Proc. IEEE ICC, июнь 2011 г.
• К. Махмуд, М. Векапера и Ю. Цзян: Анализ пропускной способности с ограничением по задержке коррелированного беспроводного канала MIMO , Proc. IEEE ICCCN, 2011.
• К. Махмуд, М. Векапера и Ю. Цзян: Анализ пропускной способности CDMA с ограничением по задержке с использованием стохастического сетевого исчисления , Proc. ЗНАЧОК IEEE, 2011 г.
• К. Махмуд, М. Векапера и Ю. Цзян: Производительность многопользовательских CDMA-приемников с ограничениями на неравномерный трафик и задержку , Proc. МКНК, 2012.
• Ю. Чжан и Ю. Цзян: Производительность передачи данных по гауссову каналу с дисперсией , Учеб. МСВКС, 2012.
• Х. Аль-Зубайди, Дж. Либехерр и А. Бурхард : Сетевой расчет (мин, ×) для каналов с многоскачковым замиранием , Proc. IEEE Infocom, стр. 1833–1841, апрель 2013 г.
• К. Чжэн, Ф. Лю, Л. Лэй, К. Линь и Ю. Цзян: Стохастический анализ производительности беспроводного марковского канала с конечным состоянием , IEEE Trans. Беспроводная связь 12(2): 782-793, 2013.
• Ж.-в. Чо и Ю. Цзян: Основы процесса отсрочки в 802.11: дихотомия агрегации , IEEE Trans. Теория информации 61 (4): 1687–1701, 2015.
• М. Фидлер, Р. Лаббен и Н. Беккер: Границы пропускной способности – задержки – ошибок: составная модель источников и систем , Транзакции по беспроводной связи, 14 (3): 1280-1294, март 2015 г.
• Ф. Сунь и Ю. Цзян: Статистическая характеристика пропускной способности беспроводного канала: теория и применение , Учеб. Результаты ИФИП, 2017.