Свободный спектральный диапазон

Свободный спектральный диапазон ( FSR ) — это расстояние по оптической частоте или длине волны между двумя последовательными максимумами или минимумами отраженной или прошедшей оптической интенсивности интерферометра или дифракционного оптического элемента .

ФСР не всегда представлена $\Delta \nu$ или $\Delta \lambda$, но вместо этого иногда обозначается просто буквами FSR. Причина в том, что эти разные термины часто относятся к полосе пропускания или ширине линии излучаемого источника соответственно.

В общем

Свободный спектральный диапазон (FSR) полости в целом определяется выражением

$\left|\Delta \lambda _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}\right|$

или, что то же самое,

$\left|\Delta \nu _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \nu }}\right)^{-1}\right|$

Эти выражения можно вывести из условия резонанса $\Delta \beta L=2\pi$ расширяя $\Delta \beta$ в серии Тейлора. Здесь, $\beta =k_{0}n(\lambda )={\frac {2\pi }{\lambda }}n(\lambda )$ – волновой вектор света внутри резонатора, $k_{0}$ и $\lambda$ волновой вектор и длина волны в вакууме, $n$ - показатель преломления полости и $L$ - длина обхода резонатора туда и обратно (обратите внимание, что для резонатора стоячей волны $L$ равна удвоенной физической длине полости).

При условии $\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)\right|={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}\left[n(\lambda )-\lambda {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right]={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}n_{g}$, FSR (в длине волны) определяется выражением

$\Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},$

существование $n_{\text{g}}$ – групповой индекс среды внутри полости. или, что то же самое,

$\Delta \nu _{\text{FSR}}={\frac {c}{n_{\text{g}}L}},$

где $c$ это скорость света в вакууме.

Если дисперсия материала незначительна, т.е. ${\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\approx 0$, то два приведенных выше выражения сводятся к

$\Delta \lambda _{\text{FSR}}\approx {\frac {\lambda ^{2}}{n(\lambda )L}},$

и

$\Delta \nu _{\text{FSR}}\approx {\frac {c}{n(\lambda )L}}.$

Простая интуитивная интерпретация FSR заключается в том, что это обратное значение времени прохождения туда и обратно. $T_{R}$:

$T_{R}={\frac {n_{\text{g}}L}{c}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\text{FSR}}}}.$

По длине волны FSR определяется выражением

$\Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},$

где $\lambda$ — длина волны света в вакууме. Для линейного резонатора, такого как интерферометр Фабри-Перо. обсуждается ниже, $L=2l$, где $L$ - расстояние, пройденное светом за один оборот вокруг закрытой полости, и $l$ - длина полости.

Дифракционные решетки

Свободный спектральный диапазон дифракционной решетки — это наибольший диапазон длин волн данного порядка, который не перекрывает тот же диапазон в соседнем порядке. Если ( m + 1)-й порядок $\lambda$ и m -го порядка $(\lambda +\Delta \lambda )$ лежать под одним и тем же углом, то

$\Delta \lambda ={\frac {\lambda }{m}}.$

Интерферометр Фабри – Перо

В интерферометре Фабри – Перо или эталона, расстояние по длине волны между соседними пиками пропускания называется свободным спектральным диапазоном эталона и определяется выражением

$\Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta }},$

где λ ₀ — центральная длина волны ближайшего пика пропускания, n — показатель преломления среды полости, $\theta$ - угол падения, а $l$ это толщина полости. Чаще всего FSR указывается в единицах частоты, а не длины волны:

$\Delta f\approx {\frac {c}{2nl\cos \theta }}.$

Пропускание эталона как функция длины волны. Эталон с высокой точностью (красная линия) показывает более острые пики и более низкие минимумы передачи, чем эталон с низкой точностью (синяя). Свободный спектральный диапазон равен Δλ (показан над графиком).

FSR связан с полной шириной полувысоты δλ любой полосы пропускания величиной, известной как утонченность :

${\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin(1/{\sqrt {F}})}},$

где $F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}$ — коэффициент утонченности , а R — отражательная способность зеркал.

Обычно это аппроксимируется (для R > 0,5) выражением

${\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{1/2}}{(1-R)}}.$