Нейтральный вектор

В статистике , и особенно при изучении распределения Дирихле , нейтральный вектор — случайных величин это тот, который демонстрирует особый тип статистической независимости среди своих элементов. В частности, когда элементы случайного вектора должны составлять определенную сумму, тогда элемент вектора является нейтральным по отношению к другим, если распределение вектора, созданное путем выражения оставшихся элементов как долей их суммы, не зависит от элемент, который был опущен.

Определение

Один элемент $X_{i}$ случайного вектора $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{k}$ нейтральна, если относительные пропорции всех остальных элементов не зависят от $X_{i}$.

Формально рассмотрим вектор случайных величин

$X=(X_{1},\ldots ,X_{k})$

где

$\sum _{i=1}^{k}X_{i}=1.$

Ценности $X_{i}$ интерпретируются как длины, сумма которых равна единице. В различных контекстах часто желательно исключить некоторую долю, скажем $X_{1}$, и рассмотрим распределение оставшихся интервалов в пределах оставшейся длины. Первый элемент $X$, а именно $X_{1}$ определяется как нейтральный, если $X_{1}$ от статистически не зависит вектора

$X_{1}^{*}=\left({\frac {X_{2}}{1-X_{1}}},{\frac {X_{3}}{1-X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{k}}{1-X_{1}}}\right).$

Переменная $X_{2}$ нейтрально, если $X_{2}/(1-X_{1})$ не зависит от оставшегося интервала: т.е. $X_{2}/(1-X_{1})$ быть независимым от

$X_{1,2}^{*}=\left({\frac {X_{3}}{1-X_{1}-X_{2}}},{\frac {X_{4}}{1-X_{1}-X_{2}}},\ldots ,{\frac {X_{k}}{1-X_{1}-X_{2}}}\right).$

Таким образом $X_{2}$, рассматриваемый как первый элемент $Y=(X_{2},X_{3},\ldots ,X_{k})$, является нейтральным.

В общем, переменная $X_{j}$ нейтрально, если $X_{1},\ldots X_{j-1}$ не зависит от

$X_{1,\ldots ,j}^{*}=\left({\frac {X_{j+1}}{1-X_{1}-\cdots -X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{k}}{1-X_{1}-\cdots -X_{j}}}\right).$

Полный нейтралитет

Вектор, для которого каждый элемент нейтрален, является полностью нейтральным .

Если $X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )$ извлекается из распределения Дирихле, тогда $X$ является абсолютно нейтральным. В 1980 году Джеймс и Мосиманн показали, что распределение Дирихле характеризуется нейтральностью.

См. также

• Обобщенное распределение Дирихле