Класс каппа-функции

В теории управления часто требуется проверить, неавтономная система устойчива или нет . Чтобы справиться с этим, необходимо использовать специальные функции сравнения. Сорт ${\mathcal {K}}$ функции принадлежат этому семейству:

Определение : непрерывная функция $\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$ говорят, что он принадлежит к классу ${\mathcal {K}}$ если:

• оно строго возрастает;
• это ул $\alpha (0)=0$.

По сути, это не что иное, как определение нормы, за исключением треугольного неравенства.

Определение : непрерывная функция $\alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )$ говорят, что он принадлежит к классу ${\mathcal {K}}_{\infty }$ если:

• оно принадлежит классу ${\mathcal {K}}$;
• это ул $a=\infty$;
• это ул $\lim _{r\rightarrow \infty }\alpha (r)=\infty$.

Неубывающая положительно определенная функция $\beta$ удовлетворяющий всем условиям класса ${\mathcal {K}}$ ( ${\mathcal {K}}_{\infty }$), кроме строго возрастающего, может быть ограничен сверху и снизу классом ${\mathcal {K}}$ ( ${\mathcal {K}}_{\infty }$) функционирует следующим образом:

$\beta (x){\frac {x}{x+1}}<\beta (x)<\beta (x)\left({\frac {x}{x+1}}+1\right)=\beta (x){\frac {2x+1}{x+1}},\qquad x\in (0,a).\,$

Таким образом, чтобы приступить к соответствующему анализу, достаточно связать интересующую функцию с непрерывными невозрастающими положительно определенными функциями. Другими словами, когда функция принадлежит ( ${\mathcal {K}}_{\infty }$) это означает, что функция радиально неограничена.

См. также

• Класс каппа-функции
• Х.К. Халил, Нелинейные системы, Прентис-Холл, 2001. Раздел. 4.4 - Защита. 4.2.