Условие Ладыженской-Бабушки-Бреззи.

В численных уравнениях в частных производных условие Ладыженской -Бабушки-Бреззи (ЛББ) является достаточным условием для того, чтобы задача седла имела единственное решение, непрерывно зависящее от входных данных. Проблемы седловой точки возникают при дискретизации потока Стокса и при смешанной дискретизации методом конечных элементов уравнения Пуассона . Для положительно определенных задач, таких как несмешанная формулировка уравнения Пуассона, большинство схем дискретизации сходятся к истинному решению в пределе по мере измельчения сетки. Однако в задачах седловой точки многие дискретизации нестабильны, что приводит к появлению таких артефактов, как паразитные колебания. Условие LBB дает критерии того, когда дискретизация проблемы седловой точки является устойчивой.

Это состояние по-разному называют состоянием LBB, состоянием Бабушки-Бреззи или состоянием «inf-sup».

Проблемы с седловой точкой

Абстрактная форма проблемы седла может быть выражена через гильбертово пространство и билинейные формы. Позволять $V$ и $Q$ — гильбертово пространство, и пусть $a:V\times V\to \mathbb {R}$ , $b:V\times Q\to \mathbb {R}$ быть билинейными формами. Позволять $f\in V^{*}$ , $g\in Q^{*}$ где $V^{*}$ , $Q^{*}$ являются двойственными пространствами. Задача седла для пары $a$ , $b$ это найти пару полей $u$ в $V$ , $p$ в $Q$ такой, что для всех $v$ в $V$ и $q$ в $Q$ ,

{\begin{aligned}a(u,v)+b(v,p)&=\langle f,v\rangle \\b(u,q)&=\langle g,q\rangle .\end{aligned}}

Например, для уравнений Стокса на $d$ -мерная область $\Omega$ , поля представляют собой скорость $u$ и давление $p$ , которые обитают соответственно в пространстве Соболева $H^{1}(\Omega )^{d}$ и пространство Лебега $L^{2}(\Omega )$ . Билинейные формы этой задачи:

{\begin{aligned}a(u,v)&=\int _{\Omega }\mu \nabla u:\nabla v\,dx\\b(u,q)&=\int _{\Omega }(\nabla \cdot u)q\,dx,\end{aligned}}

где $\mu$ это вязкость.

Другим примером является смешанное уравнение Лапласа (в этом контексте также иногда называемое уравнениями Дарси), где поля снова представляют собой скорость $u$ и давление $p$ , которые обитают в пространствах $H_{\text{div}}(\Omega )^{d}$ и $L^{2}(\Omega )$ , соответственно. Здесь билинейные формы задачи имеют вид

{\begin{aligned}a(u,v)&=\int _{\Omega }u\cdot K^{-1}v\,dx\\b(u,q)&=\int _{\Omega }(\nabla \cdot u)q\,dx,\end{aligned}}

где $K^{-1}$ является обратной величиной тензора проницаемости.

Формулировка теоремы

Предположим, что $a$ и $b$ обе являются непрерывными билинейными формами, причем $a$ является принудительным для ядра $b$ :

a(v,v)\geq \alpha \|v\|_{V}^{2}

для всех $v$ такой, что $b(v,q)=0$ для всех $q\in Q$ . Если $b$ удовлетворяет inf-sup или Ладыженской-Бабушки-Бреззи условию

\sup _{v\in V,v\neq 0}{\frac {b(v,q)}{\|v\|_{V}}}\geq \beta \|q\|_{Q}

для всех $q$ и для некоторых $\beta >0$ , то существует единственное решение $u,p$ проблемы седла. Более того, существует константа $C$ такой, что

\|u\|_{V}+\|p\|_{Q}\leq C(\|f\|_{V^{*}}+\|g\|_{Q^{*}}).

Альтернативное название состояния, состояние «inf-sup», связано с тем, что при делении на $\|q\|_{Q}$ , приходим к утверждению

\sup _{v\in V,v\neq 0}{\frac {b(v,q)}{\|v\|_{V}\|q\|_{Q}}}\geq \beta .

Поскольку это должно справедливо для всех $q\in Q$ и поскольку правая часть не зависит от $q$ , мы можем взять нижнюю границу всего $q$ с левой стороны и можно переписать условие эквивалентно как

\inf _{q\in Q,q\neq 0}\sup _{v\in V,v\neq 0}{\frac {b(v,q)}{\|v\|_{V}\|q\|_{Q}}}\geq \beta .

Связь с бесконечномерными задачами оптимизации

Проблемы седловой точки, подобные показанным выше, часто связаны с бесконечномерными задачами оптимизации с ограничениями. Например, уравнения Стокса возникают в результате минимизации диссипации

I(u)=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}\mu |\nabla u|^{2}-f\cdot u\right)

с учетом ограничения несжимаемости

\nabla \cdot u=0.

Используя обычный подход к задачам ограниченной оптимизации, можно сформировать лагранжиан

L(u,\lambda )=I(u)-\left(\lambda ,\nabla \cdot u\right)=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}\mu |\nabla u|^{2}-f\cdot u-\lambda (\nabla \cdot u)\right).

Условия оптимальности ( условия Каруша-Куна-Таккера ) — то есть необходимые условия первого порядка — которые соответствуют этой задаче, затем определяются путем вариации $L(u,\lambda )$ в отношении к $u$

\int _{\Omega }\left(\mu \nabla u:\nabla v-f\cdot v-\lambda (\nabla \cdot v)\right)=0\qquad \forall v\in H^{1}(\Omega )^{d},

и путем изменения $L(u,\lambda )$ в отношении к $\lambda$ :

-\int _{\Omega }\left(q(\nabla \cdot u)\right)=0\qquad \forall q\in L_{2}(\Omega )^{d},

Это в точности вариационная форма уравнений Стокса, показанных выше с

a(u,v):=\int _{\Omega }\left(\mu \nabla u:\nabla v\right),

b(\lambda ,v):=\int _{\Omega }\lambda (\nabla \cdot v).

В этом контексте условия inf-sup можно понимать как бесконечномерный эквивалент условий квалификации ограничений (в частности, LICQ), необходимых для того, чтобы гарантировать, что минимизатор задачи оптимизации с ограничениями также удовлетворяет необходимым условиям первого порядка, представленным формулой проблема седловой точки, показанная ранее. В этом контексте условия inf-sup можно интерпретировать как утверждение, что относительно размера пространства $V$ переменных состояния $u$ , количество ограничений (представленное размером пространства $Q$ множителей Лагранжа $\lambda$ ) должно быть достаточно малым. Альтернативно, это можно рассматривать как требование, чтобы размер пространства $V$ переменных состояния $u$ должен быть достаточно большим по сравнению с размером помещения $Q$ множителей Лагранжа $\lambda$ .

Ссылки

Боффи, Даниэле; Бреззи, Франко; Фортен, Мишель (2013). Смешанные методы конечных элементов и их приложения . Том. 44. Спрингер.

Внешние ссылки