Теорема Тихонова (динамические системы)

В прикладной математике теорема Тихонова о динамических системах является результатом об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений . Он имеет приложения к химической кинетике . Теорема названа в честь Андрея Николаевича Тихонова .

Заявление

Рассмотрим эту систему дифференциальных уравнений:

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}&=\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t),\\\mu {\frac {d\mathbf {z} }{dt}}&=\mathbf {g} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t).\end{aligned}}$

Принимая предел как $\mu \to 0$, это становится «вырожденной системой»:

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}&=\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t),\\\mathbf {z} &=\varphi (\mathbf {x} ,t),\end{aligned}}$

где второе уравнение является решением алгебраического уравнения

$\mathbf {g} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t)=0.$

Обратите внимание, что таких функций может быть несколько. $\varphi$.

Теорема Тихонова утверждает, что поскольку $\mu \to 0,$ решение приведенной выше системы двух дифференциальных уравнений приближается к решению вырожденной системы, если $\mathbf {z} =\varphi (\mathbf {x} ,t)$ является устойчивым корнем «присоединенной системы»

${\frac {d\mathbf {z} }{dt}}=\mathbf {g} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t).$