Джанет базис

В математике базис Джане — это нормальная форма систем линейных однородных уравнений в частных производных (ЧДУ), которая устраняет присущую любой такой системе произвольность. Он был введен в 1920 году Морисом Жане . Впервые его назвал базисом Джанет Фриц Шварц в 1998 году.

Левые части таких систем уравнений можно рассматривать как дифференциальные многочлены кольца, а нормальную форму Жане — как специальный базис порождаемого ими идеала. Злоупотребляя языком, эта терминология будет применяться как к исходной системе, так и к идеалу дифференциальных полиномов, порожденных левыми частями. Базис Джане является предшественником базиса Грёбнера, введенного Бруно Бухбергером. для полиномиальных идеалов. Чтобы сгенерировать базис Джане для любой данной системы линейных УЧП, необходимо обеспечить ранжирование ее производных; то соответствующий базис Жане единственен. Если система линейных УЧП задана в терминах базиса Жане, ее дифференциальную размерность можно легко определить; это мера степени неопределенности ее общего решения. Чтобы сгенерировать разложение Леви системы линейных УЧП, необходимо сначала определить ее базис Джане.

Создание базиса Джанет

Любая система линейных однородных УЧП весьма неуникальна, например, к системе можно добавить произвольную линейную комбинацию ее элементов без изменения ее множества решений. Априори неизвестно, имеет ли она нетривиальные решения. В более общем плане неизвестна степень произвольности его общего решения, т.е. сколько неопределенных констант или функций оно может содержать. Эти вопросы стали отправной точкой работы Джанет; он рассматривал системы линейных частных уравнений с любым числом зависимых и независимых переменных и генерировал для них нормальную форму. Здесь в основном линейные УЧП в плоскости с координатами $x$ и $y$ будет рассмотрено; количество неизвестных функций — одна или две. Большинство описанных здесь результатов можно очевидным образом обобщить на любое количество переменных или функций. Чтобы создать уникальное представление для данной системы линейных УЧП, сначала необходимо определить ранжирование ее производных.

Определение : Ранжирование деривативов — это такое общее упорядочение, при котором для любых двух деривативов $\delta$, $\delta _{1}$ и $\delta _{2}$и любой оператор вывода $\theta$ отношения $\delta \leq \theta \delta$ и $\delta _{1}\leq \delta _{2}\rightarrow \delta \delta _{1}\leq \delta \delta _{2}$ действительны.

Производная $\delta _{2}$ называется выше, чем $\delta _{1}$ если $\delta _{2}>\delta _{1}$. Самый высокий производная в уравнении называется его старшей производной . Для производных до второго порядка одной функции $z$ в зависимости от $x$ и $y$ с $x>y$ два возможных порядка:

заказ Лекса $z_{xx}>z_{xy}>z_{x}>z_{yy}>z_{y}>z$ и заказ GRLEX $z_{xx}>z_{xy}>z_{yy}>z_{x}>z_{y}>z$.

Здесь обычные обозначения $\partial _{x}z=z_{x},\partial _{y}z=z_{y},\ldots$ используется. Если число функций больше одной, эти порядки необходимо соответствующим образом обобщить, например порядки $TOP$ или $POT$ может быть применено. Первой основной операцией, которую необходимо применить при построении базиса Джане, является приведение уравнения $e_{1}$ напиши еще один $e_{2}$. В разговорной речи это означает следующее: Всякий раз, когда производная от $e_{1}$ может быть полученное из ведущей производной $e_{2}$ путем подходящего дифференцирования это дифференцирование осуществляется и результат вычитается из $e_{1}$. Приведение к системе УЧП означает приведение ко всем элементам системы. Система линейных УЧП называется авторедуцированной , если были выполнены все возможные приведения.

Вторая основная операция формирования базиса Джане — включение условий интегрируемости . Они получаются следующим образом: если два уравнения $e_{1}$ и $e_{2}$ таковы, что путем подходящих дифференцирований можно получить два новых уравнения с одинаковыми ведущими производными, перекрестным умножением старших коэффициентов и вычитанием полученных уравнений получается новое уравнение, которое называется условием интегрируемости. Если при редукции по остальным уравнениям системы оно не обращается в нуль, оно включается в систему как новое уравнение.

Можно показать, что повторение этих операций всегда завершается после конечного числа шагов с единственным ответом, который называется базисом Жане для входной системы. Джанет организовала их по следующему алгоритму.

Алгоритм Джане : дана система линейных дифференциальных полиномов. $S\equiv \{e_{1},e_{2},\ldots \}$, базис Джане, соответствующий $S$ возвращается.

S1: ( Автоуменьшение ) Назначить $S:=\operatorname {Autoreduce} (S)$

S2: ( Завершение ) Назначить $S:=\operatorname {CompleteSystem} (S)$

S3: ( Условия интегрируемости ) Найти все пары ведущих членов $v_{i}$ из $e_{i}$ и $v_{j}$ из $e_{j}$ такое, что дифференцирование по немножителю $x_{i_{k}}$ и множители $x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{l}}$ приводит к $${\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i_{k}}}}={\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}v_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{1}}\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}$$ и определим условия интегрируемости $$c_{i,j}=\operatorname {Lcoef} (e_{j})\cdot {\frac {\partial e_{i}}{\partial x_{i_{k}}}}-\operatorname {Lcoef} (e_{i})\cdot {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}e_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{1}}\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}$$

S4: ( Редукция условий интегрируемости ). Для всех $c_{i,j}$ назначать $c_{i,j}:=\operatorname {Reduce} (c_{i,j},S)$

S5: ( Прекращение? ) Если все $c_{i,j}$ имеют нулевой доход $S$, иначе выполните задание $S:=S\cup \{c_{i,j}\mid c_{i,j}\neq 0\}$, изменить порядок $S$ правильно и перейти к S1

Здесь $Autoreduce$ — это подалгоритм, который возвращает свой аргумент со всеми возможными выполненными сокращениями, $Completion$ добавляет в систему некоторые уравнения для облегчения определения условий интегрируемости. Для этого переменные делятся на множители и немножители ; Подробности можно найти в приведенных выше ссылках. При успешном завершении будет возвращена база Janet для системы ввода.

Пример 1. Пусть система $$\left\{e_{1}\equiv z_{xy}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}z_{x}-{\frac {x-y}{y^{2}}}z=0,e_{2}\equiv z_{x}+{\frac {1}{x}}z_{y}+xz=0\right\}$$ предоставляется при заказе GRLEX и $x>y$. Шаг S1 возвращает авторедуцированную систему.

$\left\{e_{3}\equiv z_{yy}+{\frac {1}{y^{2}}}(xy^{3}-x^{2}-y)z_{y}-{\frac {1}{y}}(x^{3}-x+y)z=0,e_{2}=z_{x}+{\frac {1}{y}}z_{y}+xz=0\right\}.$

Шаги S3 и S4 генерируют условие интегрируемости. $c_{3,2}\equiv {\frac {\partial e_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}e_{2}}{\partial y^{2}}}$ и сводит его к $z=0$, т. е. базис Жане для исходно заданной системы равен $\{z=0\}$ с тривиальным решением $z=0$.

В следующем примере задействованы две неизвестные функции. $w$ и $z$, оба в зависимости от $x$ и $y$.

Пример 2. Рассмотрим систему

${\begin{aligned}{\Big \{}&f_{1}\equiv w_{xx}-2z_{xy}-{\frac {1}{2x}}w_{x}+{\frac {1}{2x^{2}}}w=0,f_{2}\equiv w_{xy}-{\frac {1}{2}}z_{yy}-{\frac {1}{2x}}w_{y}-6x^{2}z_{x},\\[5pt]&f_{3}\equiv w_{yy}+4x^{2}w_{x}-8x^{2}z_{y}-8xw=0,f_{4}\equiv z_{xx}+{\frac {1}{2x}}z_{x}=0{\Big \}}\end{aligned}}$

в ГРЛЕКС, $w>z,x>y$ заказ. Система уже авторедуцирована, т.е. шаг S1 возвращает ее без изменений. Шаг S3 генерирует два условия интегрируемости

$c_{1,2}\equiv {\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}{\text{ and }}c_{2,3}\equiv {\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}.$

При уменьшении на этапе S4 они

$c_{1,2}=z_{xyy}-6xz_{x}=0,c_{2,3}=z_{yyy}+3x^{2}z_{xy}-24xz_{y}-12w=0.$

На этапе S5 они включаются в систему, и алгоритм снова начинается с шага S1 с расширенной системой. После еще нескольких итераций наконец-то появилась основа Джанет. $$\left\{z_{y}+{\frac {1}{2x}}w=0,z_{x}=0,w_{y}=0,w_{x}-{\frac {1}{x}}w=0\right\}$$

получается. Это дает общее решение $z=C_{1}-C_{2}x,w=2C_{2}y$ с двумя неопределёнными константами $C_{1}$ и $C_{2}$.

Применение баз Janet

Наиболее важным применением базиса Жане является его использование для определения степени неопределенности системы линейных однородных уравнений в частных производных. Ответ в приведенном выше примере 1 заключается в том, что рассматриваемая система допускает только тривиальное решение. Во втором примере 2 получено двумерное пространство решений. В общем, ответ может быть более сложным: в общем решении может быть бесконечно много свободных констант; они могут быть получены из разложения Леви соответствующего базиса Джане. Кроме того, базис Джане модуля позволяет считывать базис Джане для модуля syzygy.

Алгоритм Джанет был реализован в Maple.

Внешние ссылки

• www.alltypes.de – Реализация основы Джанет.