Разложение Леви

При изучении дифференциальных уравнений разложение Леви разбивает каждое линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) на так называемые наибольшие полностью приводимые компоненты. Его представил Альфред Лоуи .

Решение дифференциальных уравнений — одна из важнейших областей математики . Особый интерес представляют решения в закрытой форме . Разбиение ОДУ на наибольшие неприводимые компоненты сводит процесс решения исходного уравнения к решению неприводимых уравнений наименьшего возможного порядка. Эта процедура является алгоритмической , поэтому гарантируется наилучший возможный ответ для решения приводимого уравнения. Подробное обсуждение можно найти в .

Результаты Лоуи были распространены на линейные дифференциальные уравнения в частных производных (ЧДУ) с двумя независимыми переменными. Таким образом, стали доступны алгоритмические методы решения больших классов линейных уравнений в частных уравнениях.

Разложение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Позволять ${\textstyle D\equiv {\frac {d}{dx}}}$ обозначим производную по переменной $x$.Дифференциальный оператор порядка $n$ представляет собой многочлен вида $$L\equiv D^{n}+a_{1}D^{n-1}+\cdots +a_{n-1}D+a_{n}$$где коэффициенты $a_{i}$, $i=1,\ldots ,n$ взяты из некоторого функционального поля, базового поля $L$. Обычно это поле рациональных функций от переменной $x$, то есть $a_{i}\in \mathbb {Q} (x)$. Если $y$ является неопределенным с ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}\neq 0}$, $Ly$ становится дифференциальным полиномом, и $Ly=0$ – дифференциальное уравнение, соответствующее $L$.

Оператор $L$ порядка $n$ называется приводимым, если его можно представить в виде произведения двух операторов $L_{1}$ и $L_{2}$, оба порядка ниже $n$. Тогда один пишет $L=L_{1}L_{2}$, т.е. сопоставление означает произведение оператора, оно определяется по правилу $Da_{i}=a_{i}D+a_{i}'$; $L_{1}$ называется левым фактором $L$, $L_{2}$ правильный фактор. По умолчанию предполагается, что областью коэффициентов факторов является базовое поле $L$, возможно, расширенный некоторыми алгебраическими числами , т.е. ${\bar {\mathbb {Q} }}(x)$ разрешено. Если оператор не допускает ни одного правого множителя, он называется неприводимым .

Для любых двух операторов $L_{1}$ и $L_{2}$ наименьшее общее левое кратное $\operatorname {Lclm} (L_{1},L_{2})$ является оператором низшего порядка, таким что оба $L_{1}$ и $L_{2}$ разделите его справа. Наибольший общий правый делитель $\operatorname {Gcrd} (L_{1},L_{2})$ является оператором высшего порядка, который делит оба $L_{1}$ и $L_{2}$ справа. Если оператор может быть представлен как $\operatorname {Lclm}$ из неприводимых операторов он называется вполне приводимым . По определению неприводимый оператор называется вполне приводимым.

Если оператор не вполне приводимо, то $\operatorname {Lclm}$ его неприводимых правых множителей делится и та же процедура повторяется с частным . Из-за понижения порядка на каждом шаге этот процесс завершается после конечного числа итераций и достигается желаемое разложение. Исходя из этих соображений, Лоуи получил следующий фундаментальный результат.

Теорема 1 (Лёви, 1906 г.) . Пусть ${\textstyle D={\frac {d}{dx}}}$ быть производной и $a_{i}\in \mathbb {Q} (x)$. Дифференциальный оператор $$L\equiv D^{n}+a_{1}D^{n-1}+\cdots +a_{n-1}D+a_{n}$$порядка $n$ можно однозначно записать как произведение полностью приводимых множителей $L_{k}^{(d_{k})}$ максимального порядка $d_{k}$ над $\mathbb {Q} (x)$ в форме $$L=L_{m}^{(d_{m})}L_{m-1}^{(d_{m-1})}\ldots L_{1}^{(d_{1})}$$с $d_{1}+\ldots +d_{m}=n$. Факторы $L_{k}^{(d_{k})}$ уникальны. Любой фактор $L_{k}^{(d_{k})}$, $k=1,\ldots ,m$ может быть записано как $$L_{k}^{(d_{k})}=\operatorname {Lclm} \left(l_{j_{1}}^{(e_{1})},l_{j_{2}}^{(e_{2})},\ldots ,l_{j_{k}}^{(e_{k})}\right)$$с $e_{1}+e_{2}+\dots +e_{k}=d_{k}$; $l_{j_{i}}^{(e_{i})}$ для $i=1,\ldots ,k$, обозначает неприводимый оператор порядка $e_{i}$ над $\mathbb {Q} (x)$.

Разложение, определенное в этой теореме, называется Леви разложением $L$. Он дает подробное описание функционального пространства , содержащего решение приводимого линейного дифференциального уравнения. $Ly=0$.

Для операторов фиксированного порядка возможные разложения Леви, различающиеся числом и порядком множителей, могут быть перечислены явно; некоторые из факторов могут содержать параметры. Каждая альтернатива называется разновидностью разложения Леви . Полный ответ на $n=2$ подробно описано в следующем следствии из приведенной выше теоремы.

Следствие 1 Позволять $L$ быть оператором второго порядка. Его возможные разложения Леви обозначаются через ${\mathcal {L}}_{0}^{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{3}^{2}$, их можно описать следующим образом; $l^{(i)}$ и $l_{j}^{(i)}$ являются неприводимыми операторами порядка $i$; $C$ является константой.

$${\begin{aligned}&{\mathcal {L}}_{1}^{2}:L=l_{2}^{(1)}l_{1}^{(1)};\\&{\mathcal {L}}_{2}^{2}:L=\operatorname {Lclm} \left(l_{2}^{(1)},l_{1}^{(1)}\right);\\&{\mathcal {L}}_{3}^{2}:L=\operatorname {Lclm} \left(l^{(1)}(C)\right).\end{aligned}}$$

Типом декомпозиции оператора является декомпозиция ${\mathcal {L}}_{i}^{2}$ с самым высоким значением $i$. Неприводимый оператор второго порядка определяется как тип разложения ${\mathcal {L}}_{0}^{2}$.

Разложения ${\mathcal {L}}_{0}^{2}$, ${\mathcal {L}}_{2}^{2}$ и ${\mathcal {L}}_{3}^{2}$ полностью редуцируемы.

Если разложение типа ${\mathcal {L}}_{i}^{2}$, $i=1,2$ или $3$ было получено зауравнение второго порядка $Ly=0$, фундаментальная система может быть задана явно.

Следствие 2 Позволять $L$ быть дифференциальным оператором второго порядка, ${\textstyle D\equiv {\frac {d}{dx}}}$, $y$ дифференциальная неопределённость и $a_{i}\in \mathbb {Q} (x)$. Определять ${\textstyle \varepsilon _{i}(x)\equiv \exp {\left(-\int a_{i}\,dx\right)}}$ для $i=1,2$ и ${\textstyle \varepsilon (x,C)\equiv \exp {\left(-\int a(C)\,dx\right)}}$, $C$ является параметром ; запрещенные количества ${\bar {C}}$ и ${\bar {\bar {C}}}$ являются произвольными числами, ${\bar {C}}\neq {\bar {\bar {C}}}$. Для трех нетривиальных разложений следствия 1 следующие элементы $y_{1}$ и $y_{2}$ фундаментальной системы.

$${\mathcal {L}}_{1}^{2}:Ly=(D+a_{2})(D+a_{1})y=0;$$$$y_{1}=\varepsilon _{1}(x),\quad y_{2}=\varepsilon _{1}(x)\int {\frac {\varepsilon _{2}(x)}{\varepsilon _{1}(x)}}\,dx.$$$${\mathcal {L}}_{2}^{2}:Ly=\operatorname {Lclm} (D+a_{2},D+a_{1})y=0;$$$$y_{i}=\varepsilon _{i}(x);$$

$a_{1}$ не эквивалентно $a_{2}$.

$${\mathcal {L}}_{3}^{2}:Ly=\operatorname {Lclm} (D+a(C))y=0;$$$$y_{1}=\varepsilon (x,{\bar {C}})$$$$y_{2}=\varepsilon (x,{\bar {\bar {C}}}).$$

Здесь две рациональные функции $p,q\in \mathbb {Q} (x)$ называются эквивалентными, если существует другая рациональная функция $r\in \mathbb {Q} (x)$ такой, что $$p-q={\frac {r'}{r}}.$$

Остается вопрос, как получить факторизацию для данного уравнения или оператора. Оказывается, что для нахождения коэффициентов линейной оды сводится к нахождению рациональных решений уравнений Риккати или линейных од; оба могут быть определены алгоритмически. Два примера ниже показывают, как применяется приведенное выше следствие.

Пример 1 Уравнение 2.201 из сборника Камке. имеет ${\mathcal {L}}_{2}^{2}$ разложение $$y''+\left(2+{\frac {1}{x}}\right)y'-{\frac {4}{x^{2}}}y=\operatorname {Lclm} \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {2x-2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}},D+2+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x+{\frac {3}{2}}}}\right)y=0.$$

Коэффициенты ${\textstyle a_{1}=2+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x+{\frac {3}{2}}}}}$ и ${\textstyle a_{2}={\frac {2}{x}}-{\frac {2x-2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}}}$ являются рациональными решениями уравнения Риккати ${\textstyle a'-a^{2}+\left(2+{\frac {1}{x}}\right)+{\frac {4}{x^{2}}}=0}$, они дают фундаментальную систему $$y_{1}={\frac {2}{3}}-{\frac {4}{3x}}+{\frac {1}{x^{2}}},$$$$y_{2}={\frac {2}{x}}+{\frac {3}{x^{2}}}e^{-2x}.$$

Пример 2 Уравнение типа ${\mathcal {L}}_{3}^{2}$ разложение $$y''-{\frac {6}{x^{2}}}y=\operatorname {Lclm} \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {5x^{4}}{x^{5}+C}}\right)y=0.$$

Коэффициент при факторе первого порядка является рациональным решением задачи ${\textstyle a'-a^{2}+{\frac {6}{x^{2}}}=0}$. После интеграции фундаментальная система ${\textstyle y_{1}=x^{3}}$ и ${\textstyle y_{2}={\frac {1}{x^{2}}}}$ для $C=0$ и $C\to \infty$ соответственно получается.

Эти результаты показывают, что факторизация обеспечивает алгоритмическую схему для решения приводимых линейных од. Всякий раз, когда уравнение порядка 2 факторизуется в соответствии с одним из типов, определенных выше, элементы фундаментальной системы явно известны, т.е. факторизация эквивалентна его решению.

Аналогичную схему можно построить для линейных од любого порядка, хотя число альтернатив значительно возрастает с увеличением порядка; для заказа $n=3$ Подробный ответ дан в .

Если уравнение неприводимо, может случиться так, что его группа Галуа нетривиальна, тогда могут существовать алгебраические решения. Если группа Галуа тривиальна, возможно выразить решения через специальные функции, такие как, например, функции Бесселя или Лежандра , см. или.

Основные факты из дифференциальной алгебры

Чтобы обобщить результат Лоуи на линейные УЧП, необходимо применить более общий подход дифференциальной алгебры . Поэтому ниже приведены несколько основных понятий, которые необходимы для этой цели.

Поле ${\mathcal {F}}$ называется дифференциальным полем, если оно снабжено оператором дифференцирования . Оператор $\delta$ на поле ${\mathcal {F}}$ называется оператором дифференцирования, если $\delta (a+b)=\delta (a)+\delta (b)$ и $\delta (ab)=\delta (a)b+a\delta (b)$ для всех элементов $a,b\in {\mathcal {F}}$. Поле с единственным оператором дифференцирования называется обыкновенным дифференциальным полем ; если существует конечное множество, содержащее несколько коммутирующих операторов дифференцирования, то поле называется полем в частных производных .

Здесь дифференциальные операторы с производными ${\textstyle \partial _{x}={\frac {\partial }{\partial x}}}$ и ${\textstyle \partial _{y}={\frac {\partial }{\partial y}}}$ с коэффициентами из некоторого дифференциального поля. Его элементы имеют вид ${\textstyle \sum _{i,j}r_{i,j}(x,y)\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}}$; почти все коэффициенты $r_{i,j}$ равны нулю. Поле коэффициентов называется базовым полем . Если основной проблемой являются конструктивные и алгоритмические методы, то $\mathbb {Q} (x,y)$. Соответствующее кольцо дифференциальных операторов обозначается через ${\mathcal {D}}=\mathbb {Q} (x,y)[\partial _{x},\partial _{y}]$ или ${\mathcal {D}}={\mathcal {F}}[\partial _{x},\partial _{y}]$. Кольцо ${\mathcal {D}}$ некоммутативен, ${\textstyle \partial _{x}a=a\partial _{x}+{\frac {\partial a}{\partial x}}}$ и аналогично для остальных переменных; $a$ это из базового поля.

Для оператора ${\textstyle L=\sum _{i+j\leq n}r_{i,j}(x,y)\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}}$ порядка $n$ символ L - однородный алгебраический многочлен ${\textstyle \operatorname {symb} (L)\equiv \sum _{i+j=n}r_{i,j}(x,y)X^{i}Y^{j}}$ где $X$ и $Y$ алгебраические неопределенные.

Позволять $I$ быть левым идеалом, который порождается $l_{i}\in {\mathcal {D}}$, $i=1,\ldots ,p$. Тогда один пишет $I=\langle l_{1},\ldots ,l_{p}\rangle$. Потому что правильные идеалы здесь не рассматриваются, иногда $I$ называется просто идеалом.

Отношения между левыми идеалами в ${\mathcal {D}}$ и систем линейных УЧП устанавливается следующим образом. Элементы $l_{i}\in {\mathcal {D}}$ применяются к одному дифференциальному неопределенному $z$. Таким образом, идеал $I=\langle l_{1},l_{2},\ldots \rangle$ соответствует системе УЧП $l_{1}z=0$, $l_{2}z=0,\ldots$ для одной функции $z$.

Генераторы идеала весьма неоднозначны; его члены можно трансформировать бесконечным множеством способов, взяв их линейные комбинации или их производные, не меняя при этом идеала. Поэтому г-н Жане ввел нормальную форму для систем линейных УЧП (см. базис Жане ). Они являются дифференциальным аналогом базисов Грёбнера ( коммутативной алгебры которые первоначально были введены Бруно Бухбергером ); поэтому их также иногда называют дифференциальным базисом Грёбнера .

Чтобы сгенерировать базис Джане, необходимо определить ранжирование производных. Это тотальный порядок, такой, что для любых производных $\delta$, $\delta _{1}$ и $\delta _{2}$и любой оператор вывода $\theta$ отношения $\delta \preceq \theta \delta$, и $\delta _{1}\preceq \delta _{2}\rightarrow \delta \delta _{1}\preceq \delta \delta _{2}$ действительны. Здесь ранжирован лексикографический порядок терминов. $grlex$ применяются. Для частных производных одной функции их определение аналогично мономиальным порядкам в коммутативной алгебре . S-пары в коммутативной алгебре соответствуют условиям интегрируемости.

Если уверены, что генераторы $l_{1},\ldots ,l_{p}$ идеального $I$ образовать базис Жане обозначения $I={{\big \langle }{\big \langle }}l_{1},\ldots ,l_{p}{{\big \rangle }{\big \rangle }}$ применяется.

Пример 3 Рассмотрим идеал $$I={\Big \langle }l_{1}\equiv \partial _{xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{x}-{\frac {y}{x(x+y)}}\partial _{y},\;l_{2}\equiv \partial _{xy}+{\frac {1}{x+y}}\partial _{y},\;l_{3}\equiv \partial _{yy}+{\frac {1}{x+y}}\partial _{y}{\Big \rangle }$$в $grlex$ срочный заказ с $x\succ y$. Его генераторы авторедуцируются. Если условие интегрируемости $$l_{1,y}=l_{2,x}-l_{2,y}={\frac {y+2x}{x(x+y)}}\partial _{xy}+{\frac {y}{x(x+y)}}\partial _{yy}$$снижается по отношению к $I$, новый генератор $\partial _{y}$ получается. Сложив его к образующим и выполнив все возможные приведения, данный идеал представляется в виде ${\textstyle I=\left\langle \left\langle \partial _{xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{x},\partial _{y}\right\rangle \right\rangle }$.Его образующие являются авторедуцируемыми и удовлетворяют единственному условию интегрируемости, т. е. образуют базис Жане.

Учитывая любой идеал $I$ может случиться так, что оно правильно содержится в каком-то более широком идеале. $J$ с коэффициентами в базовом поле $I$; затем $J$ называется делителем ​ $I$. В общем случае дивизор в кольце операторов в частных производных не обязательно должен быть главным.

Наибольший общий правый делитель (Gcrd) или сумма двух идеалов $I$ и $J$ есть наименьший идеал, обладающий тем свойством, что оба $I$ и $J$ содержатся в нем. Если у них есть представительство $I\equiv \langle f_{1},\ldots ,f_{p}\rangle$ и $J\equiv \langle g_{1},\ldots ,g_{q}\rangle ,$ $f_{i}$, $g_{j}\in {\mathcal {D}}$ для всех $i$ и $j$, сумма генерируется объединением генераторов $I$ и $J$. Пространство решений уравнений, соответствующих $\operatorname {Gcrd} (I,J)$ является пересечением пространств решений его аргументов.

Наименьшее общее левое кратное (Lclm) или левое пересечение двух идеалов. $I$ и $J$ является величайшим идеалом, обладающим тем свойством, что он содержится как в $I$ и $J$. Пространство решений $\operatorname {Lclm} (I,J)z=0$ — наименьшее пространство, содержащее пространства решений своих аргументов.

Особым видом дивизора является так называемый делитель Лапласа данного оператора. $L$, стр. 34. Он определяется следующим образом.

Определение Позволять $L$ — оператор частных производных на плоскости; определять $${\mathfrak {l}}_{m}\equiv \partial _{x^{m}}+a_{m-1}\partial _{x^{m-1}}+\dots +a_{1}\partial _{x}+a_{0}$$и $${\mathfrak {k}}_{n}\equiv \partial _{y^{n}}+b_{n-1}\partial _{y^{n-1}}+\dots +b_{1}\partial _{y}+b_{0}$$являются обыкновенными дифференциальными операторами относительно $x$ или $y$; $a_{i},b_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ для всех я; $m$ и $n$ – натуральные числа не меньше 2. Предположим, что коэффициенты $a_{i}$, $i=0,\ldots ,m-1$ таковы, что $L$ и ${\mathfrak {l}}_{m}$ образуют основу Джанет. Если $m$ — наименьшее целое число с этим свойством, тогда $\mathbb {L} _{x^{m}}(L)\equiv {\langle \langle }L,{\mathfrak {l}}_{m}{\rangle \rangle }$ называется Лапласа делителем $L$. Аналогично, если $b_{j}$, $j=0,\ldots ,n-1$ таковы, что $L$ и ${\mathfrak {k}}_{n}$ сформировать основу Джане и $n$ минимально, то $\mathbb {L} _{y^{n}}(L)\equiv {\langle \langle }L,{\mathfrak {k}}_{n}{\rangle \rangle }$ также называется Лапласа делителем $L$.

Чтобы существовал дивизор Лапласа, необходимы коэффициенты оператора $L$ должны подчиняться определенным ограничениям. Алгоритм определения верхней границы дивизора Лапласа в настоящее время неизвестен, поэтому в общем случае существование дивизора Лапласа может быть неразрешимым.

Разложение линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка на плоскости

Применяя изложенные выше концепции, теорию Леви можно обобщить на линейные УЧП. Здесь оно применяется к отдельным линейным УЧП второго порядка на плоскости с координатами $x$ и $y$и главные идеалы, порожденные соответствующими операторами.

Уравнения второго порядка широко рассматривались в литературе XIX века. Обычно уравнения с ведущими производными $\partial _{xx}$ или $\partial _{xy}$ выделяются. Их общие решения содержат не только константы, но и неопределенные функции разного числа аргументов; их определение является частью процедуры решения. Для уравнений с ведущей производной $\partial _{xx}$ Результаты Леви можно обобщить следующим образом.

Теорема 2 Пусть дифференциальный оператор $L$ определяться $$L\equiv \partial _{xx}+A_{1}\partial _{xy}+A_{2}\partial _{yy}+A_{3}\partial _{x}+A_{4}\partial _{y}+A_{5}$$ где $A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ для всех $i$.

Позволять $l_{i}\equiv \partial _{x}+a_{i}\partial _{y}+b_{i}$ для $i=1$ и $i=2$, и $l(\Phi )\equiv \partial _{x}+a\partial _{y}+b(\Phi )$ быть операторами первого порядка с $a_{i},b_{i},a\in \mathbb {Q} (x,y)$; $\Phi$ является неопределенной функцией одного аргумента. Затем $L$ имеет разложение Леви по одному из следующих типов.

• ${\mathcal {L}}_{xx}^{1}:L=l_{2}l_{1};$
• ${\mathcal {L}}_{xx}^{2}:L=\operatorname {Lclm} (l_{2},l_{1});$
• ${\mathcal {L}}_{xx}^{3}:L=\operatorname {Lclm} (l(\Phi )).$

Тип декомпозиции оператора $L$ это разложение ${\mathcal {L}}_{xx}^{i}$ с самым высоким значением $i$. Если $L$ не имеет коэффициента первого порядка в базовом поле, его тип разложения определяется как ${\mathcal {L}}_{xx}^{0}$. Разложения ${\mathcal {L}}_{xx}^{0}$, ${\mathcal {L}}_{xx}^{2}$ и ${\mathcal {L}}_{xx}^{3}$ полностью редуцируемы.

Чтобы применить этот результат для решения любого дифференциального уравнения, включающего оператор $L$ Возникает вопрос, можно ли определить ее факторы первого порядка алгоритмически. Следующее следствие дает ответ для факторов с коэффициентами либо в базовом поле, либо в расширении универсального поля.

Следствие 3 В общем, правые факторы первого порядка линейного PDE в базовом поле не могут быть определены алгоритмически. Если полином символа является разделимым, можно определить любой коэффициент. Если оно имеет двойной корень, вообще невозможно определить правильные коэффициенты в базовом поле. Всегда можно установить существование факторов в универсальном поле, т. е. абсолютную неприводимость.

Приведенная выше теорема может быть применена для решения приводимых уравнений в замкнутой форме. Поскольку здесь участвуют только главные делители, ответ такой же, как и для обычных уравнений второго порядка.

Предложение 1 Пусть приводимое уравнение второго порядка $$Lz\equiv z_{xx}+A_{1}z_{xy}+A_{2}z_{yy}+A_{3}z_{x}+A_{4}z_{y}+A_{5}z=0$$ где $A_{1},\ldots ,A_{5}\in \mathbb {Q} (x,y)$.

Определять $l_{i}\equiv \partial _{x}+a_{i}\partial _{y}+b_{i}$, $a_{i},b_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ для $i=1,2$; $\varphi _{i}(x,y)=\mathrm {const}$ является рациональным первым интегралом ${\frac {dy}{dx}}=a_{i}(x,y)$; ${\bar {y}}\equiv \varphi _{i}(x,y)$ и обратное $y=\psi _{i}(x,{\bar {y}})$; оба $\varphi _{i}$ и $\psi _{i}$ предполагается, что они существуют. Кроме того, определите $${\mathcal {E}}_{i}(x,y)\equiv \left.\exp \left(-\int b_{i}(x,y){\big |}_{y=\psi _{i}(x,{\bar {y}})}dx\right)\right|_{{\bar {y}}=\varphi _{i}(x,y)}$$ для $i=1,2$.

Дифференциальная фундаментальная система имеет следующую структуру для различных разложений на компоненты первого порядка.

$${\mathcal {L}}_{xx}^{1}:z_{1}(x,y)={\mathcal {E}}_{1}(x,y)F_{1}(\varphi _{1}),$$$$z_{2}(x,y)={\mathcal {E}}_{1}(x,y){\displaystyle \int }{\frac {{\mathcal {E}}_{2}(x,y)}{{\mathcal {E}}_{1}(x,y)}}F_{2}{\big (}\varphi _{2}(x,y){\big )}{\big |}_{y=\psi _{1}(x,{\bar {y}})}dx{\Big |}_{{\bar {y}}=\varphi _{1}(x,y)};$$$${\mathcal {L}}_{xx}^{2}:z_{i}(x,y)={\mathcal {E}}_{i}(x,y)F_{i}{\big (}\varphi _{i}(x,y){\big )},i=1,2;$$$${\mathcal {L}}_{xx}^{3}:z_{i}(x,y)={\mathcal {E}}_{i}(x,y)F_{i}{\big (}\varphi (x,y){\big )},i=1,2.$$

The $F_{i}$ являются неопределенными функциями одного аргумента; $\varphi$, $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ рациональны во всех аргументах; $\psi _{1}$ предполагаетсясуществовать. В общем $\varphi _{1}\neq \varphi _{2}$, они определеныпо коэффициентам $A_{1}$, $A_{2}$ и $A_{3}$ данного уравнения.

Типичным примером линейного PDE, в котором применяется факторизация, является уравнение, обсуждавшееся Форсайтом: том VI, стр. 16,

Пример 5 (Форсайт, 1906 г.)Рассмотрим дифференциальное уравнение ${\textstyle z_{xx}-z_{yy}+{\frac {4}{x+y}}z_{x}=0}$. При факторизации представление $$Lz\equiv l_{2}l_{1}z=\left(\partial _{x}+\partial _{y}+{\frac {2}{x+y}}\right)\left(\partial _{x}-\partial _{y}+{\frac {2}{x+y}}\right)z=0$$получается. Далее следует $$\varphi _{1}(x,y)=x+y,\psi _{1}(x,y)={\bar {y}}-x,{\mathcal {E}}_{1}(x,y)=\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)},$$$$\varphi _{2}(x,y)=x-y,\psi _{2}(x,y)=x-{\bar {y}},{\mathcal {E}}_{2}(x,y)=-{\frac {1}{x+y}}.$$

Следовательно, дифференциальная фундаментальная система есть

$$z_{1}(x,y)=\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)}F(x+y),$$$$z_{2}(x,y)={\frac {1}{x+y}}\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)}\int \exp {\left({\frac {2x-{\bar {y}}}{\bar {y}}}\right)}G(2x-{\bar {y}})dx{\Big |}_{{\bar {y}}=x+y}.$$

$F$ и $G$ являются неопределенными функциями.

Если единственная производная второго порядка оператора равна $\partial _{xy}$, его возможные разложенияс участием только главных делителей, можно описать следующим образом.

Теорема 3 Пусть дифференциальный оператор $L$ определяться $$L\equiv \partial _{xy}+A_{1}\partial _{x}+A_{2}\partial _{y}+A_{3}$$ где $A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ для всех $i$.

Позволять $l\equiv \partial _{x}+A_{2}$ и $k\equiv \partial _{y}+A_{1}$ являются операторами первого порядка. $L$ имеет разложения Леви, включающие главные делители первого порядка следующего вида.

• ${\mathcal {L}}_{xy}^{1}:L=kl;$
• ${\mathcal {L}}_{xy}^{2}:L=lk;$
• ${\mathcal {L}}_{xy}^{3}:L=\operatorname {Lclm} (k,l).$

Тип декомпозиции оператора $L$ это разложение ${\mathcal {L}}_{xy}^{i}$ с наивысшим значением $i$. Разложение типа ${\mathcal {L}}_{xy}^{3}$ полностью сокращаемо

Кроме того, существует еще пять возможных типов разложения, включающих неглавные делители Лапласа, как показано ниже.

Теорема 4 Пусть дифференциальный оператор $L$ определяться $$L\equiv \partial _{xy}+A_{1}\partial _{x}+A_{2}\partial _{y}+A_{3}$$ где $A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)$ для всех $i$.

$\mathbb {L} _{x^{m}}(L)$ и $\mathbb {L} _{y^{n}}(L)$ а также ${\mathfrak {l}}_{m}$ и ${\mathfrak {k}}_{n}$ определены выше; более того $l\equiv \partial _{x}+a$, $k\equiv \partial _{y}+b$, $a,b\in \mathbb {Q} (x,y)$. $L$ имеет разложения Леви с дивизорами Лапласа одного из следующих типов; $m$ и $n$ подчиняться $m,n\geq 2$.

$${\mathcal {L}}_{xy}^{4}:L=\operatorname {Lclm} \left(\mathbb {L} _{x^{m}}(L),\mathbb {L} _{y^{n}}(L)\right);$$$${\mathcal {L}}_{xy}^{5}:L=Exquo{\big (}L,\mathbb {L} _{x^{m}}(L){\big )}\mathbb {L} _{x^{m}}(L)={\begin{pmatrix}1&0\\0&\partial _{y}+A_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L\\{\mathfrak {l}}_{m}\end{pmatrix}};$$$${\mathcal {L}}_{xy}^{6}:L=Exquo{\big (}L,\mathbb {L} _{y^{n}}(L){\big )}\mathbb {L} _{y^{n}}(L)={\begin{pmatrix}1&0\\0&\partial _{x}+A_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L\\{\mathfrak {k}}_{n}\end{pmatrix}};$$$${\mathcal {L}}_{xy}^{7}:L=\operatorname {Lclm} {\big (}k,\mathbb {L} _{x^{m}}(L){\big )};$$$${\mathcal {L}}_{xy}^{8}:L=\operatorname {Lclm} {\big (}l,\mathbb {L} _{y^{n}}(L){\big )}.$$

Если $L$ не имеет правого множителя первого порядка, и можно показать, что делителя Лапласа не существует, его тип разложения определяется как ${\mathcal {L}}_{xy}^{0}$. Разложения ${\mathcal {L}}_{xy}^{0}$, ${\mathcal {L}}_{xy}^{4}$, ${\mathcal {L}}_{xy}^{7}$ и ${\mathcal {L}}_{xy}^{8}$ полностью редуцируемы.

Уравнение, не допускающее разложения с участием главных делителей, но вполне приводимое относительно неглавных делителей Лапласа типа ${\mathcal {L}}_{xy}^{4}$ рассматривался Форсайтом.

Пример 6 (Форсайт, 1906). Определите $$L\equiv \partial _{xy}+{\frac {2}{x-y}}\partial _{x}v-{\frac {2}{x-y}}\partial _{y}-{\frac {4}{(x-y)^{2}}}$$создание главного идеала $\langle L\rangle$. Фактора первого порядка не существует. Однако существуют делители Лапласа. $$\mathbb {L} _{x^{2}}(L)\equiv {{\Big \langle }{\Big \langle }}\partial _{xx}-{\frac {2}{x-y}}\partial _{x}+{\frac {2}{(x-y)^{2}}},L{{\Big \rangle }{\Big \rangle }}$$ и $$\mathbb {L} _{y^{2}}(L)\equiv {{\Big \langle }{\Big \langle }}L,\partial _{yy}+{\frac {2}{x-y}}\partial _{y}+{\frac {2}{(x-y)^{2}}}{{\Big \rangle }{\Big \rangle }}.$$

Идеал, порожденный $L$ имеет представительство $\langle L\rangle =\operatorname {Lclm} {\big (}\mathbb {L} _{x^{2}}(L),\mathbb {L} _{y^{2}}(L){\big )}$, т. е. вполне приводимо; его тип разложения ${\mathcal {L}}_{xy}^{4}$. Следовательно, уравнение $Lz=0$ имеет дифференциальную фундаментальную систему $$z_{1}(x,y)=2(x-y)F(y)+(x-y)^{2}F'(y)$$ и $$z_{2}(x,y)=2(y-x)G(x)+(y-x)^{2}G'(x).$$

Разложение линейных УЧП порядка выше 2

Оказывается, что операторы более высокого порядка имеют более сложные разложения и больше альтернатив, многие из которых выражаются в виде неглавных делителей. Решения соответствующих уравнений усложняются. Для уравнений третьего порядка на плоскости достаточно полный ответ можно найти в . Типичный пример уравнения третьего порядка, представляющий также исторический интерес, принадлежит Блюмбергу.

Пример 7 (Блюмберг, 1912).В своей диссертации Блумберг рассматривал оператор третьего порядка.

$$L\equiv \partial _{xxx}+x\partial _{xxy}+2\partial _{xx}+2(x+1)\partial _{xy}+\partial _{x}+(x+2)\partial _{y}.$$

Это позволяет использовать два фактора первого порядка $l_{1}\equiv \partial _{x}+1$ и $l_{2}\equiv \partial _{x}+x\partial _{y}$. Их пересечение не является принципиальным; определение

$$L_{1}\equiv \partial _{xxx}-x^{2}\partial _{xyy}+3\partial _{xx}+(2x+3)\partial _{xy}-x^{2}\partial _{yy}+2\partial _{x}+(2x+3)\partial _{y}$$$$L_{2}\equiv \partial _{xxy}+x\partial _{xyy}-{\frac {1}{x}}\partial _{xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{xy}+x\partial _{y}y-{\frac {1}{x}}\partial _{x}-\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\partial _{y}{{\big \rangle }{\big \rangle }}.$$

это может быть записано как $\operatorname {Lclm} (l_{2},l_{1})={\langle \langle }L_{1},L_{2}{\rangle \rangle }$. Следовательно, разложение Леви оператора Блумбергса имеет вид $$L={\begin{pmatrix}1&x\\0&\partial _{x}+1+{\frac {1}{x}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\end{pmatrix}}.$$

Это дает следующую дифференциальную фундаментальную систему для дифференциального уравнения $Lz=0$.

• $z_{1}(x,y)=F(y-{\frac {1}{2}}x^{2})$,
• $z_{2}(x,y)=G(y)e^{-x}$,
• $z_{3}(x,y)=\int xe^{-x}H\left({\bar {y}}+{\frac {1}{2}}x^{2}\right)dx{\Big |}_{{\bar {y}}=y-{\frac {1}{2}}x^{2}}$

$F,G$ и $H$ являются неопределенными функциями.

Факторизации и разложения Леви оказались чрезвычайно полезным методом нахождения решений линейных дифференциальных уравнений в замкнутой форме, как для обыкновенных, так и для уравнений в частных производных. Должно быть возможно обобщить эти методы на уравнения более высокого порядка, уравнения с большим количеством переменных и системы дифференциальных уравнений.