Вариационный интегратор

Вариационные интеграторы — это численные интеграторы для гамильтоновых систем, полученные из уравнений Эйлера-Лагранжа дискретизированного принципа Гамильтона . Вариационные интеграторы сохраняют импульс и являются симплектическими .

Вывод простого вариационного интегратора

Рассмотрим механическую систему с одночастичной степенью свободы, описываемую лагранжианом

$L(t,q,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(q),$

где $m$ - масса частицы, а $V$ это потенциал. Чтобы построить вариационный интегратор для этой системы, мы начнем с формирования дискретного лагранжиана . Дискретный лагранжиан аппроксимирует действие системы на коротком интервале времени:

${\begin{aligned}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})&={\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}\left[L\left(t_{0},q_{0},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)+L\left(t_{1},q_{1},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)\right]\\&\approx \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t)).\end{aligned}}$

Здесь мы решили аппроксимировать интеграл по времени с помощью метода трапеций и используем линейную аппроксимацию траектории:

$q(t)\approx {\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}(t-t_{0})+q_{0}$

между $t_{0}$ и $t_{1}$, что приводит к постоянной скорости $v\approx \left(q_{1}-q_{0}\right)/\left(t_{1}-t_{0}\right)$. Различные варианты аппроксимации траектории и интеграла по времени дают разные вариационные интеграторы. Порядок точности интегратора определяется точностью нашего приближения к действию; с

$L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t))+{\mathcal {O}}(t_{1}-t_{0})^{2},$

наш интегратор будет иметь точность второго порядка.

Уравнения эволюции дискретной системы могут быть получены из принципа стационарного действия. Дискретное действие на расширенном интервале времени представляет собой сумму дискретных лагранжианов на многих подинтервалах:

$S_{d}=L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})+L_{d}(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2})+\cdots .$

Принцип стационарного действия гласит, что действие стационарно относительно изменений координат, при которых конечные точки траектории остаются неизменными. Итак, варьируя координату $q_{1}$, у нас есть

${\frac {\partial S_{d}}{\partial q_{1}}}=0={\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2}\right).$

Учитывая начальное состояние $(q_{0},q_{1})$, и последовательность времен $(t_{0},t_{1},t_{2})$ это дает соотношение, которое можно решить для $q_{2}$. Решение

$q_{2}=q_{1}+{\frac {t_{2}-t_{1}}{t_{1}-t_{0}}}(q_{1}-q_{0})-{\frac {(t_{2}-t_{0})(t_{2}-t_{1})}{2m}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).$

Мы можем записать это в более простой форме, если определим дискретные импульсы:

$p_{0}\equiv -{\frac {\partial }{\partial q_{0}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})$

и

$p_{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}).$

Учитывая начальное состояние $(q_{0},p_{0})$, условие стационарного действия эквивалентно решению первого из этих уравнений для $q_{1}$, а затем определяя $p_{1}$ используя второе уравнение. Эта схема эволюции дает

$q_{1}=q_{0}+{\frac {t_{1}-t_{0}}{m}}p_{0}-{\frac {(t_{1}-t_{0})^{2}}{2m}}{\frac {d}{dq_{0}}}V(q_{0})$

и

$p_{1}=m{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}-{\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).$

Это революционная схема интеграции системы; два шага этой эволюции эквивалентны приведенной выше формуле для $q_{2}$

См. также

• Интегратор группы Ли

Ссылки

• Э. Хайрер, К. Любич и Г. Ваннер. Геометрическое численное интегрирование . Спрингер, 2002.
• Дж. Марсден и М. Уэст. Дискретная механика и вариационные интеграторы . Acta Numerica, 2001, стр. 357–514.