Преобразование с нулевым смещением

Преобразование с нулевым смещением — это преобразование одного распределения вероятностей в другое. Преобразование возникает при применении метода Штейна в теории вероятности и статистике.

Формальное определение

Преобразование нулевого смещения может применяться как к дискретным, так и к непрерывным случайным величинам. Преобразование нулевого смещения функции плотности f ( t ) , определенной для всех действительных чисел t ≥ 0 , представляет собой функцию g ( s ) , определенную формулой

$g(s)=\int _{s}^{\infty }tf(t)1(t>s)\,dt$

где s и t — действительные числа а f ( t ) — плотность или функция массы случайной величины T. ,

Эквивалентный, но альтернативный подход состоит в том, чтобы определить природу преобразованной случайной величины путем оценки ожидаемого значения.

$\operatorname {E} (TH(T))=\sigma ^{2}E(h(T^{z}))$

где правый верхний индекс обозначает случайную величину с нулевым смещением, тогда как левое математическое ожидание представляет исходную случайную величину. Пример каждого подхода приведен в разделе примеров ниже.

Если случайная величина дискретна, интеграл становится суммой от положительной бесконечности до s . Преобразование с нулевым смещением берется для случайной величины со средним нулевым значением и дисперсией 1, что может потребовать преобразования масштаба местоположения для случайной величины.

Приложения

Преобразование нулевого смещения возникает в приложениях, где требуется нормальное приближение. Подобно методу Стейна, преобразование нулевого смещения часто применяется к суммам случайных величин, при этом каждое слагаемое имеет конечную дисперсию, равную среднему нулю.

Преобразование нулевого смещения было применено к ценообразованию траншей CDO.

Примеры

1. Рассмотрим случайную величину Бернулли( p ) B с Pr( B = 0) = 1 − p . Преобразование нулевого смещения T = ( B − p ):

${\begin{aligned}\operatorname {E} (TH(T))&=-p(1-p)H(-p)+(1-p)pH(1-p)\\&=p(1-p)[H(1-p)-H(-p)]\\&=p(1-p)\int _{-p}^{1-p}h(s)\,ds\end{aligned}}$

где h производная от H. — Отсюда следует, что случайная величина S является непрерывной равномерной случайной величиной на носителе (− p , 1 − p ). В этом примере показано, как преобразование нулевого смещения сглаживает дискретное распределение в непрерывное распределение.

2. Рассмотрим непрерывную форму на носителе $(-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}})$.

$\int _{s}^{\sqrt {3}}t1(t>s)f(t)\,dt=\int _{s}^{\sqrt {3}}{\frac {t}{2{\sqrt {3}}}}\,dt={\frac {\sqrt {3}}{4}}-{\frac {s^{2}}{{\sqrt {3}}\,4}}{\text{ where }}-{\sqrt {3}}<s<{\sqrt {3}}$

Этот пример показывает, что преобразование с нулевым смещением принимает непрерывные симметричные распределения и делает их унимодулярными.