Метод постоянной времени холостого хода

Метод постоянной времени холостого хода (OCT) — это метод приближенного анализа, используемый в проектировании электронных схем для определения угловой частоты сложных схем . Это частный случай метода нулевой постоянной времени (ZVT) , когда реактивные элементы состоят только из конденсаторов. Метод константы времени с нулевым значением (ZVT) сам по себе является частным случаем общего анализа констант времени и передачи (TTC) , который позволяет полностью оценить нули и полюсы любых систем LTI с сосредоточенными параметрами, в которых в качестве реактивных элементов используются как индукторы, так и конденсаторы. используя постоянные времени и константы переноса . Метод ОКТ обеспечивает быструю оценку и определяет наибольший вклад в постоянные времени, что является руководством к усовершенствованию схемы.

В основе метода лежит приближение, согласно которому угловая частота усилителя определяется членом в знаменателе его передаточной функции , линейной по частоте. Это приближение может быть крайне неточным в некоторых случаях, когда ноль в числителе близок по частоте. Если все полюса действительны и нет нулей, это приближение всегда консервативно в том смысле, что обратная сумма постоянных времени с нулевым значением меньше фактической угловой частоты цепи.

В методе также используется упрощенный метод нахождения члена, линейного по частоте, основанный на суммировании RC-произведений для каждого конденсатора в цепи, где резистор R для выбранного конденсатора представляет собой сопротивление, найденное путем вставки тестового источника в его место и установки все остальные конденсаторы в ноль. Отсюда и название метода постоянной времени с нулевым значением .

Пример: Простая RC-сеть

Рисунок 1: Простая RC-цепь и вспомогательные цепи для определения постоянных времени.

На рисунке 1 показан простой RC-фильтр нижних частот. Его передаточная функция находится с использованием действующего закона Кирхгофа следующим образом. На выходе,

${\frac {V_{1}-V_{O}}{R_{2}}}=j\omega C_{2}V_{O}\ ,$

где V ₁ - напряжение на вершине конденсатора C ₁ . В центральном узле:

${\frac {V_{S}-V_{1}}{R_{1}}}=j\omega C_{1}V_{1}+{\frac {V_{1}-V_{O}}{R_{2}}}\ .$

Объединив эти соотношения, передаточную функцию получим:

${\frac {V_{O}}{V_{S}}}={\frac {1}{1+j\omega \left(C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\right)+(j\omega )^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}}$

Линейный член в j ω в этой передаточной функции можно получить с помощью следующего метода, который представляет собой применение метода постоянной времени холостого хода к этому примеру.

1. Установите источник сигнала на ноль.
2. Выбрать конденсатор С ₂ , заменить его испытательным напряжением V _X , а С ₁ заменить на разомкнутую цепь. Затем сопротивление, наблюдаемое при испытательном напряжении, определяется с помощью схемы на средней панели рисунка 1 и равно просто V _X / I _X = R ₁ + R ₂ . Образуйте продукт C ₂ ( R ₁ + R ₂ ).
3. Выбрать конденсатор С ₁ , заменить его испытательным напряжением V _X , а С ₂ заменить на разомкнутую цепь. Затем сопротивление, наблюдаемое при испытательном напряжении, определяется с помощью схемы на правой панели рисунка 1 и равно просто V _X / I _X = R ₁ . Образуйте продукт C ₁ R ₁ .
4. Добавьте эти условия.

По сути, это похоже на то, как если бы каждый конденсатор заряжался и разряжался через сопротивление, обнаруженное в цепи, когда другой конденсатор является разомкнутой цепью.

Процедура определения постоянной времени разомкнутой цепи обеспечивает линейный член в j ω независимо от того, насколько сложной становится RC-сеть. Первоначально это было разработано и доказано Торнтоном и Сирлом путем расчета кофакторов матрицы проводимости. Более интуитивное индуктивное доказательство этого (и других свойств TTC) было позже развито Хаджимири.

Для сложной схемы процедура заключается в соблюдении вышеуказанных правил и переборе всех конденсаторов в цепи. Более общий вывод можно найти у Грея и Мейера.

Пока результат является общим, но для использования этого результата вводится приближение: делается предположение, что этот линейный член в j ω определяет угловую частоту схемы.

Это предположение можно более подробно рассмотреть на примере рисунка 1: предположим, что постоянные времени этой схемы равны τ ₁ и τ ₂ ; то есть:

$\left(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2}\right)=1+j\omega \left(C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\right)+(j\omega )^{2}C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}$

Сравнивая коэффициенты при линейных и квадратичных членах по j ω, получаем:

$\tau _{1}+\tau _{2}=C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\ ,$

$\tau _{1}\tau _{2}=C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}\ .$

Одна из двух постоянных времени будет самой длинной; пусть это будет τ ₁ . Предположим на мгновение, что оно намного больше другого, τ ₁ >> τ ₂ . В этом случае аппроксимации предполагают следующее:

$\tau _{1}+\tau _{2}\approx \tau _{1}\ ,$

и

$\tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\approx {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}\ .$

Другими словами, подставляя RC-значения:

$\tau _{1}\approx {\hat {\tau _{1}}}=\ \tau _{1}+\tau _{2}=C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}\ ,$

и

$\tau _{2}\approx {\hat {\tau _{2}}}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}={\frac {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}{C_{2}(R_{1}+R_{2})+C_{1}R_{1}}}\ ,$

где ( ^ ) обозначает приблизительный результат. Кроме того, обратите внимание, что постоянные времени схемы включают оба конденсатора; другими словами, как правило, постоянные времени схемы не определяются каким-либо отдельным конденсатором. Используя эти результаты, легко определить, насколько хорошо угловая частота (частота 3 дБ) определяется выражением

$f_{3dB}={\frac {1}{2\pi {\hat {\tau _{1}}}}}\ ,$

Рисунок 2: Сравнение оценок OCTC с фактическими поул-позициями

так как параметры меняются. Также точную передаточную функцию можно сравнить с приближенной, т.е.

${\frac {1}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}}\$ $\$ с $\$ $\ {\frac {1}{(1+j\omega {\hat {\tau _{1}}})(1+j\omega {\hat {\tau _{2}}})}}\ .$

Конечно, согласие хорошее, когда предположение τ ₁ >> τ ₂ верно.

Рисунок 2 иллюстрирует аппроксимацию. Ось x представляет собой отношение τ ₁ / τ ₂ в логарифмическом масштабе. Увеличение этой переменной означает, что более высокий полюс находится еще выше угловой частоты. Ось Y представляет собой отношение оценки OCTC (постоянной времени холостого хода) к истинной постоянной времени. Для самого нижнего полюса используйте кривую T_1; эта кривая относится к угловой частоте; а для более высокого полюса используйте кривую T_2. Наихудшее согласие имеет место для τ ₁ = τ ₂ . В этом случае τ ^{^} ₁ = 2 τ ₁ , а угловая частота в 2 раза меньше. Верхний полюс завышен в 2 раза (его постоянная времени равна половине реального значения).

Во всех случаях расчетная угловая частота более чем в два раза ближе к реальной частоте и всегда является консервативной , то есть ниже реальной угловой частоты, поэтому реальная схема будет вести себя лучше, чем прогнозировалось. Однако более высокий полюс всегда оптимистичен , то есть предсказывает высокий полюс с более высокой частотой, чем это есть на самом деле. Чтобы использовать эти оценки для прогнозирования переходной характеристики , которые зависят от соотношения частот двух полюсов ( см. статью о разделении полюсов например, _{довольно большое соотношение τ 1} / τ _2, ), на рисунке 2 показано, что для точности необходимо поскольку ошибки в τ ^{^} ₁ и τ ^{^} ₂ усиливают друг друга в соотношении τ ^{^} ₁ /кв.м. ^{^} ₂ .

Метод постоянной времени холостого хода фокусируется только на угловой частоте, но, как видно выше, возможны оценки и для более высоких полюсов.

Применение метода постоянной времени холостого хода к ряду каскадов усилителей на одном транзисторе можно найти у Питта и Кандасвами.