Фильтр Ходрика – Прескотта

Фильтр Ходрика-Прескотта (также известный как разложение Ходрика-Прескотта ) — математический инструмент, используемый в макроэкономике , особенно в теории реального делового цикла , для удаления циклической составляющей временного ряда из необработанных данных. Он используется для получения представления временного ряда в виде сглаженной кривой , которая более чувствительна к долгосрочным, чем к краткосрочным колебаниям. Настройка чувствительности тренда к краткосрочным колебаниям достигается путем изменения множителя $\lambda$ .

Фильтр был популяризирован в области экономики в 1990-х годах экономистами Робертом Ходриком и Нобелевской премии лауреатом Эдвардом Прескоттом . ^{[ 1 ]} хотя впервые он был предложен гораздо раньше Э. Т. Уиттакером в 1923 году. ^{[ 2 ]} Фильтр Ходрика-Прескотта представляет собой частный случай сглаживающего сплайна . ^{[ 3 ]}

Уравнение

В обосновании методологии используются идеи, связанные с декомпозицией временных рядов . Позволять $y_{t}\,$ для $t=1,2,...,T\,$ обозначают логарифмы переменной временного ряда. Серия $y_{t}\,$ состоит из трендового компонента $\tau _{t}$ и циклическая составляющая $c_{t}$ такой, что $y_{t}\ =\tau _{t}\ +c_{t}\,$ . ^{[ 4 ]} При правильно выбранном положительном значении $\lambda$ , есть компонент тренда, который решит

\min _{\tau }\left(\sum _{t=1}^{T}{(y_{t}-\tau _{t})^{2}}+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}{[(\tau _{t+1}-\tau _{t})-(\tau _{t}-\tau _{t-1})]^{2}}\right).\,

Первый член уравнения представляет собой сумму квадратов отклонений $d_{t}=y_{t}-\tau _{t}$ , что наказывает циклический компонент. Второе слагаемое кратно $\lambda$ суммы квадратов вторых разностей компонента тренда. Этот второй член наказывает изменения в темпах роста трендового компонента. Чем больше значение $\lambda$ , тем выше штраф. Ходрик и Прескотт предлагают 1600 в качестве значения для $\lambda$ для квартальных данных. Равн и Улиг (2002) утверждают, что $\lambda$ должен изменяться в четвертой степени коэффициента наблюдения частот; таким образом, $\lambda$ должно равняться 6,25 (1600/4^4) для годовых данных и 129 600 (1600*3^4) для месячных данных; ^{[ 5 ]} на практике, $\lambda =100$ для годовых данных и $\lambda =14,400$ однако для ежемесячных данных обычно используются.

Фильтр Ходрика – Прескотта явно задается формулой

{\mathit {HP}}=\left[\lambda L^{2}-4\lambda L+(1+6\lambda )-4\lambda L^{-1}+\lambda L^{-2}\right]^{-1}

где $L$ обозначает оператор лага , как видно из условия первого порядка задачи минимизации.

Недостатки фильтра Ходрика – Прескотта

Фильтр Ходрика-Прескотта будет оптимальным только в том случае, если: ^{[ 6 ]}

Данные существуют в виде тренда I(2).
- Если происходят одноразовые постоянные потрясения или разделение темпов роста, фильтр вызовет сдвиги в тренде, которых на самом деле не существует.
Шум в данных распределен приблизительно нормально.
Анализ является чисто историческим и статическим (закрытая область). Фильтр дает неверные прогнозы при динамическом использовании, поскольку алгоритм изменяет (во время итерации минимизации) прошлое состояние (в отличие от скользящего среднего ) временного ряда, чтобы приспособиться к текущему состоянию независимо от размера $\lambda$ использовал.

Стандартный двусторонний фильтр Ходрика-Прескотта не является причинным, поскольку он не ориентирован исключительно назад. Следовательно, его не следует использовать при оценке моделей DSGE на основе рекурсивных представлений в пространстве состояний (например, методов, основанных на правдоподобии, которые используют фильтр Калмана). Причина в том, что фильтр Ходрика-Прескотта использует наблюдения в $t+i,i>0$ построить текущий момент времени $t$ , в то время как рекурсивная настройка предполагает, что на текущее наблюдение влияют только текущие и прошлые состояния. Один из способов обойти эту проблему — использовать односторонний фильтр Ходрика – Прескотта. ^{[ 7 ]}

Точные алгебраические формулы доступны для двустороннего фильтра Ходрика – Прескотта с точки зрения его отношения сигнал/шум. $\lambda$ . ^{[ 8 ]}

Рабочий документ Джеймса Д. Гамильтона из Калифорнийского университета в Сан-Диего под названием «Почему никогда не следует использовать фильтр Ходрика-Прескотта». ^{[ 9 ]} представляет доказательства против использования фильтра HP. Гамильтон пишет, что:

Фильтр HP создает ряды с ложными динамическими связями, которые не имеют никакого отношения к основному процессу генерации данных.
Односторонняя версия фильтра уменьшает, но не устраняет ложную предсказуемость и, более того, создает серии, которые не обладают свойствами, которые ищут большинство потенциальных пользователей фильтра HP.
Статистическая формализация проблемы обычно дает значения параметра сглаживания, которые сильно противоречат общепринятой практике, например, значение λ намного ниже 1600 для квартальных данных.
Есть лучшая альтернатива. Регрессия переменной на дату t+h по четырем самым последним значениям на дату t предлагает надежный подход к устранению тренда, который достигает всех целей, к которым стремятся пользователи фильтра HP, без каких-либо его недостатков».

Рабочий документ Роберта Дж. Ходрика под названием «Исследование методологий декомпозиции тренд-цикла в смоделированных данных». ^{[ 10 ]} исследует, действительно ли предложенный альтернативный подход Джеймса Д. Гамильтона лучше, чем фильтр HP при извлечении циклического компонента нескольких смоделированных временных рядов, откалиброванных по аппроксимации реального ВВП США. Ходрик обнаружил, что для временных рядов, в которых присутствуют отчетливые компоненты роста и цикличности, фильтр HP приближается к изоляции циклической компоненты, чем альтернатива Гамильтона.

См. также

Ссылки

^ Ходрик, Роберт; Прескотт, Эдвард К. (1997). «Послевоенные экономические циклы США: эмпирическое исследование» (PDF) . Журнал денег, кредита и банковского дела . 29 (1): 1–16. дои : 10.2307/2953682 . JSTOR 2953682 . S2CID 154995815 .
^ Уиттакер, ET (1923). «О новом методе получения диплома» . Труды Эдинбургской математической ассоциации . 41 : 63–75. дои : 10.1017/S0013091500077853 . S2CID 120579706 . - согласно данным Philips 2010 г.
^ Пейдж, Роберт Л.; Триндаде, А. Александр (2010). «Фильтр Ходрика-Прескотта: особый случай штрафного сплайнового сглаживания» . Электронный статистический журнал . 4 : 856–874. дои : 10.1214/10-EJS570 . hdl : 2346/89336 . ISSN 1935-7524 .
^ Ким, Хёну. « Фильтр Ходрика – Прескотта », 12 марта 2004 г.
^ Равн, Мортен; Улиг, Харальд (2002). «О настройке фильтра Ходрика – Прескотта на частоту наблюдений» (PDF) . Обзор экономики и статистики . 84 (2): 371. дои : 10.1162/003465302317411604 . S2CID 845683 .
^ Френч, Марк В. (2001). «Оценка изменений в тренде роста совокупной факторной производительности: фильтры Калмана и HP в сравнении с системой переключения Маркова». Рабочий документ ФЕДС № 2001-44 . ССРН 293105 .
^ Запас; Уотсон (1999). «Прогнозирование инфляции». Журнал денежно-кредитной экономики . 44 (2): 293–335. дои : 10.1016/s0304-3932(99)00027-6 .
^ МакЭлрой (2008). «Точные формулы для фильтра Ходрика-Прескотта». Эконометрический журнал . 11 : 209–217. дои : 10.1111/j.1368-423x.2008.00230.x . S2CID 17526059 .
^ Гамильтон, Джеймс Д. (2017). «Почему никогда не следует использовать фильтр Ходрика-Прескотта» (PDF) . Рабочий документ .
^ Ходрик, Роберт Дж. (2020). «Исследование методологий декомпозиции тренд-цикла в смоделированных данных» (PDF) . Рабочий документ .

Дальнейшее чтение

Эндерс, Уолтер (2010). «Тенденции и одномерные разложения». Прикладные эконометрические временные ряды (Третье изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 247–7. ISBN 978-0470-50539-7 .
Фаверо, Карло А. (2001). Прикладная макроэконометрика . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 54–5. ISBN 0-19-829685-1 .
Миллс, Теренс К. (2003). «Фильтрация экономических временных рядов». Моделирование тенденций и циклов в экономических временных рядах . Нью-Йорк: Пэлгрейв Макмиллан. стр. 75–102. ISBN 1-4039-0209-7 .

Внешние ссылки

[1] Ходрик, Роберт; Прескотт, Эдвард К. (1997). «Послевоенные экономические циклы США: эмпирическое исследование» (PDF) . Журнал денег, кредита и банковского дела . 29 (1): 1–16. дои : 10.2307/2953682 . JSTOR 2953682 . S2CID 154995815 .

[2] Уиттакер, ET (1923). «О новом методе получения диплома» . Труды Эдинбургской математической ассоциации . 41 : 63–75. дои : 10.1017/S0013091500077853 . S2CID 120579706 . - согласно данным Philips 2010 г.

[3] Пейдж, Роберт Л.; Триндаде, А. Александр (2010). «Фильтр Ходрика-Прескотта: особый случай штрафного сплайнового сглаживания» . Электронный статистический журнал . 4 : 856–874. дои : 10.1214/10-EJS570 . hdl : 2346/89336 . ISSN 1935-7524 .

[4] Ким, Хёну. « Фильтр Ходрика – Прескотта », 12 марта 2004 г.

[5] Равн, Мортен; Улиг, Харальд (2002). «О настройке фильтра Ходрика – Прескотта на частоту наблюдений» (PDF) . Обзор экономики и статистики . 84 (2): 371. дои : 10.1162/003465302317411604 . S2CID 845683 .

[6] Френч, Марк В. (2001). «Оценка изменений в тренде роста совокупной факторной производительности: фильтры Калмана и HP в сравнении с системой переключения Маркова». Рабочий документ ФЕДС № 2001-44 . ССРН 293105 .

[7] Запас; Уотсон (1999). «Прогнозирование инфляции». Журнал денежно-кредитной экономики . 44 (2): 293–335. дои : 10.1016/s0304-3932(99)00027-6 .

[8] МакЭлрой (2008). «Точные формулы для фильтра Ходрика-Прескотта». Эконометрический журнал . 11 : 209–217. дои : 10.1111/j.1368-423x.2008.00230.x . S2CID 17526059 .

[9] Гамильтон, Джеймс Д. (2017). «Почему никогда не следует использовать фильтр Ходрика-Прескотта» (PDF) . Рабочий документ .

[10] Ходрик, Роберт Дж. (2020). «Исследование методологий декомпозиции тренд-цикла в смоделированных данных» (PDF) . Рабочий документ .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]