Теорема Миллмана

В электротехнике . теорема Миллмана ^{[ 1 ]} (или теорема о параллельном генераторе ) — метод упрощения решения схемы . В частности, теорема Миллмана используется для расчета напряжения на концах цепи, состоящей только из параллельных ветвей .

Она названа в честь Джейкоба Миллмана , доказавшего теорему.

Объяснение

Позволять $e_{k}$ быть напряжениями генераторов . Позволять $R_{k}$ – сопротивления на ветвях с генераторами напряжения $e_{k}$ . Затем Миллман утверждает, что напряжение на концах цепи определяется выражением: ^{[ 2 ]}

v={\frac {\sum {\frac {e_{k}}{R_{k}}}}{\sum {\frac {1}{R_{k}}}}}.

То есть сумма токов короткого замыкания в ветви, деленная на сумму проводимостей в каждой ветви.

Это можно доказать, рассматривая схему как один суперузел . ^{[ 3 ]} Тогда, согласно Ому и Кирхгофу , напряжение между концами цепи равно полному току, поступающему в суперузел, деленному на полную эквивалентную проводимость суперузла. Общий ток представляет собой сумму токов в каждой ветви. Общая эквивалентная проводимость суперузла представляет собой сумму проводимостей каждой ветви, поскольку все ветви расположены параллельно. ^{[ 4 ]}

Варианты ветвей

Текущие источники

Один из методов вывода теоремы Миллмана начинается с преобразования всех ветвей в источники тока (что можно сделать с помощью теоремы Нортона ). Ветка, которая уже является текущим источником, просто не конвертируется. В приведенном выше выражении это эквивалентно замене $e_{k}/R_{k}$ член в числителе приведенного выше выражения с током генератора тока, где k-я ветвь — это ветвь с генератором тока. Параллельная проводимость источника тока добавляется к знаменателю, как и последовательная проводимость источников напряжения. Идеальный источник тока имеет нулевую проводимость (бесконечное сопротивление) и поэтому ничего не добавляет к знаменателю. ^{[ 5 ]}

Идеальные источники напряжения

Если одна из ветвей представляет собой идеальный источник напряжения, то теорему Миллмана использовать нельзя, но в этом случае решение тривиально, напряжение на выходе приводится к напряжению идеального источника напряжения. Теорема не работает с идеальными источниками напряжения, поскольку такие источники имеют нулевое сопротивление (бесконечная проводимость), поэтому сумма числителя и знаменателя бесконечна, а результат неопределенен. ^{[ 6 ]}

См. также

Анализ резистивных цепей

Ссылки

^ Миллман, Джейкоб (1940). «Полезная сетевая теорема». Труды ИРЭ . 28 (9): 413–417. дои : 10.1109/JRPROC.1940.225885 .
^ Бакши и Бакши, с. 7-28
^ Бакши и Бакши, с. 3-7
^ Гош и Чакраборти, с. 172
^ Вадхва, с. 88
^ Сингх, с. 64

Бакши, UA; Бакши А.В., Сетевой анализ , Технические публикации, 2009. ISBN 818431731X .
Гош, ИП; Чакраборти, А.К., Сетевой анализ и синтез , Тата МакГроу-Хилл, 2010 г. ISBN 0070144788 .
Сингх, С.Н., Базовая электротехника , PHI Learning, 2010 г. ISBN 8120341880 .
Вадхва, К.Л., Сетевой анализ и синтез , New Age International ISBN 8122417531 '

[1] Миллман, Джейкоб (1940). «Полезная сетевая теорема». Труды ИРЭ . 28 (9): 413–417. дои : 10.1109/JRPROC.1940.225885 .

[2] Бакши и Бакши, с. 7-28

[3] Бакши и Бакши, с. 3-7

[4] Гош и Чакраборти, с. 172

[5] Вадхва, с. 88

[6] Сингх, с. 64

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]