Метод конечных объемов для решения трехмерной задачи диффузии

Метод конечных объемов (FVM) — численный метод. FVM в вычислительной гидродинамике используется для решения уравнения в частных производных , которое возникает из физического закона сохранения, с использованием дискретизации . За конвекцией всегда следует диффузия , и, следовательно, при рассмотрении конвекции мы должны учитывать совместное воздействие конвекции и диффузии. Но там, где течение жидкости играет незначительную роль, можно пренебречь конвективным действием потока. В этом случае нам придется рассмотреть более упрощенный случай только диффузии. Общее уравнение устойчивой конвекции-диффузии можно легко вывести из общего уравнения переноса свойства $\phi$ удалив переходный процесс.

Общее уравнение переноса определяется как:

${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )=\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }$ …………………………………………….1

Где,

$\phi$ является консервативной формой течения всех жидкостей,

$\rho$ плотность,

$\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )$ представляет собой чистую скорость потока $\phi$ элемент вне жидкости представляет собой конвективный член,

${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ является временным термином,

$\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ это скорость изменения $\phi$ из-за диффузии,

$S_{\phi }$ представляет собой скорость увеличения $\phi$ из-за источника.

Из-за установившегося состояния переходный член становится нулевым, а из-за отсутствия конвекции конвективный член становится нулевым, поэтому трехмерное уравнение конвекции и диффузии в установившемся состоянии становится:

$\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0$ ………………………………………………………….2

Поэтому,

${\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\Gamma {\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)+S_{\phi }=0$ …………………………………………………………………….3

Поэтому поток также должен удовлетворять уравнению неразрывности

$\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ ………………………………………………………………………………………………………4

Чтобы решить проблему, мы выполним следующие общие шаги.

Формирование сетки:

1. Разделить домен на дискретные управляющие объемы.

2. Поместите узловую точку между конечными точками, определяющими физические границы. Границы/грани контрольного объема создаются посередине между соседними узлами.

3. Установите контрольный объем рядом с краем домена так, чтобы физические границы и контрольный объем совпадали друг с другом.

4. Учитывая общую узловую точку P, сопровождаемую шестью соседними узловыми точками «E» (которые представляют восток), «W» (которые представляют запад), «N» (которые представляют север), «S» (которые представляют юг), «T» (обозначают верх), «B» (обозначают низ). В рассматриваемом контрольном объеме восточная сторона обозначается буквой «e», западная сторона обозначается буквой «w», северная сторона обозначается буквой «n», южная сторона обозначается буквой «s», верхняя сторона обозначается буквой «s». буквой «t» обозначена буква «b», а нижняя боковая грань обозначена буквой «b».

5. Теперь расстояния между узлами W и P, между узлами P и E, между узлами P и N, между узлами S и P, между узлами P и T, между узлами B и P обозначаются как ${\delta x_{WP}},{\delta x_{PE}},{\delta x_{PN}},{\delta x_{SP}},{\delta x_{PT}},{\delta x_{BP}}$ соответственно.

Дискретизация:

Интегрирование уравнения 3 в одном измерении по общему контрольному объему дает:

[ $\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{e}-\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{w}]+[\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{n}-\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{s}]+[\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{t}-\left(\Gamma A{\frac {d\phi }{dx}}\right)_{b}]+{\overrightarrow {S}}\Delta V=0$

Теперь, используя метод центрального дифференцирования, мы можем переписать приведенное выше уравнение как

[ $\Gamma _{e}A_{e}\left({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\Gamma _{w}A_{w}\left({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{PE}}}\right)]+[\Gamma _{n}A_{n}\left({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\Gamma _{s}A_{s}\left({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{PE}}}\right)]+[\Gamma _{t}A_{t}\left({\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\Gamma _{b}A_{b}\left({\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{PE}}}\right)]+(S_{u}+S_{p}\phi _{p})=0$

Это можно переставить, чтобы получить дискретное уравнение для внутренних узлов:

$a_{P}\phi _{P}=a_{W}\phi _{W}+a_{E}\phi _{E}+a_{S}\phi _{S}+a_{N}\phi _{N}+a_{B}\phi _{B}+a_{T}\phi _{T}+S_{u}$

Где

$a_{W}$	$a_{E}$	$a_{S}$	$a_{N}$	$a_{B}$	$a_{T}$	$a_{P}$
${\frac {\Gamma _{w}}{\delta x_{WP}}}A_{w}$	${\frac {\Gamma _{e}}{\delta x_{PE}}}A_{e}$	${\frac {\Gamma _{s}}{\delta x_{SP}}}A_{s}$	${\frac {\Gamma _{n}}{\delta x_{PN}}}A_{n}$	${\frac {\Gamma _{b}}{\delta x_{BP}}}A_{w}$	${\frac {\Gamma _{t}}{\delta x_{PT}}}A_{t}$	$a_{W}+a_{E}+a_{S}+a_{N}+a_{B}+a_{T}-S_{P}$