Магическое число (спорт)

Чтобы узнать о других значениях этого термина, см. «Магическое число (значения)» .

В некоторых видах спорта — магическое число это число, используемое для обозначения того, насколько близка команда, идущая впереди, к завоеванию титула в дивизионе и/или места в плей-офф. Он представляет собой сумму дополнительных побед команды, идущей впереди, или дополнительных поражений (или любой их комбинации) команд-соперников, после которых для команд-соперников математически невозможно завоевать титул в оставшемся количестве игр, предполагая, что некоторые маловероятных событий, таких как дисквалификация или исключение из соревнований или ретроактивная конфискация игр, не происходит.

Широкое использование магических чисел обычно ограничивается видами спорта, где игры учитываются в турнирной таблице только в том случае, если результатом является победа или поражение. Магические числа обычно не используются в видах спорта, где командам можно каким-то образом зачислить частичные победы в случае таких результатов, как ничья или поражение в овертайме . Его также можно назвать «числом клинча» .

Команды, кроме команды, идущей впереди, имеют так называемый номер на выбывание (или «трагический номер» ) (часто сокращенно E# ). Это число представляет собой количество побед лидирующей команды или поражений отстающей команды, в результате которых отстающая команда выбьется. Наибольшее число выбывших среди команд, не занявших первое место, является магическим числом для лидирующей команды.

Магическое число рассчитывается как G + 1 − WA _B − L _где ,

• G – общее количество игр в сезоне.
• WA _— количество побед, одержанных командой А в сезоне.
• L _B — количество поражений команды B в сезоне.

Например, в Высшей бейсбольной лиге за сезон проводится 162 игры. Предположим, что верхняя часть турнирной таблицы дивизиона в конце сезона выглядит следующим образом:

Команда	Победы	Потери
А	96	58
Б	93	62

Тогда магическое число для выбывания команды Б равно 162 + 1 – 96 – 62 = 5.

Любая комбинация побед Команды А и поражений Команды Б в сумме 5 делает невозможным для Команды Б выиграть титул в дивизионе.

«+1» в формуле служит для устранения связей; без него, если бы магическое число уменьшилось до нуля и осталось там, две рассматриваемые команды получили бы одинаковые рекорды. Если обстоятельства диктуют, что команда, идущая впереди, выиграет тай-брейк независимо от будущих результатов, то дополнительную константу 1 можно исключить. Например, НБА использует сложные формулы для разрыва ничьих, используя несколько других статистических данных, помимо общего рекорда побед и поражений; однако первый тай-брейк между двумя командами является их рекордом личных встреч; если идущая впереди команда уже установила лучший результат в личных встречах, то +1 не требуется. В 2022 году Высшая бейсбольная лига представила сценарии тай-брейка (например, очные встречи при ничьих в дивизионах), которые сделали использование «+1» бессмысленным (поскольку игра 163 была исключена).

можно рассчитать как W _B + GR _B − WA _{Магическое число также} + 1, где

• W _B — количество побед, одержанных командой B в сезоне.
• GR _B — количество игр, оставшихся у команды B в сезоне.
• WA _— количество побед, одержанных командой А в сезоне.

Вторая формула по сути гласит: предположим, что команда Б выигрывает все оставшиеся игры. Подсчитайте, сколько игр нужно выиграть команде А, чтобы превзойти максимальную сумму очков команды Б на 1 . Используя приведенный выше пример и учитывая тот же сезон из 162 игр, у команды Б осталось 7 игр.

Магическое число победы команды А в дивизионе по-прежнему равно «5»: 93 + 7 − 96 + 1 = 5.

Команда Б может выиграть до 100 игр. Если команда А выигрывает 101, команда Б выбывает. Магическое число уменьшится при победе команды А, а также уменьшится при проигрыше команды Б, поскольку максимальная сумма выигрышей уменьшится на единицу.

Вариант вышеизложенного рассматривает соотношение между потерями двух команд. Магическое число можно рассчитать как L _A + GR _A − L _B + 1, где

• L _A — количество поражений команды А в сезоне.
• GR _A — количество игр, оставшихся команде А в сезоне.
• L _B — количество поражений команды B в сезоне.

Эта третья формула по сути гласит: предположим, что команда А проигрывает все оставшиеся игры. Подсчитайте, сколько игр нужно проиграть команде Б, чтобы превзойти максимальную сумму очков команды А на 1 . Используя приведенный выше пример и учитывая тот же сезон из 162 игр, у команды А осталось 8 игр.

Магическое число для победы команды А в дивизионе по-прежнему равно «5»: 58 + 8 − 62 + 1 = 5. Как видите, магическое число одинаково, независимо от того, рассчитывается ли оно на основе потенциальных побед лидера или потенциальных поражений. отстающей команды. Действительно, математические доказательства покажут, что три представленные здесь формулы математически эквивалентны.

Команда А может проиграть до 66 игр. Если команда Б проиграет 67, команда Б выбывает. Опять же, магическое число будет уменьшаться при победе команды А, а также уменьшаться при проигрыше команды Б.

В некоторых видах спорта ничья прерывается путем проведения дополнительных плей-офф(ов) из одной игры между участвующими командами. Когда команда доходит до точки, где ее магическое число равно 1, говорят, что она «зафиксировала ничью» в дивизионе или wild card. Однако, если они закончат сезон вничью с другой командой, и только одна из них имеет право на участие в плей-офф, дополнительная игра плей-офф сотрет этот «клинч» для команды, проигравшей игру плей-офф.

В некоторых видах спорта вместо проведения плей-офф из одной игры используется формула тай-брейка. В таких случаях для определения магического числа необходимо выйти за рамки статистики побед и поражений команд, поскольку команде, которая уже гарантировала себе преимущество в формуле тай-брейка, не нужно будет включать «+1» при расчете своего выигрыша. магическое число. Например, предположим, что баскетбольная лига, которая проводит сезон из 82 игр без тай-брейков в одной игре, показывает турнирную таблицу дивизиона в конце сезона следующим образом:

Команда	Победы	Потери
А	60	15
Б	55	20

Предположим далее, что первым шагом в формуле тай-брейка лиги являются результаты личных встреч. Команда А и команда Б встречались четыре раза в течение сезона, причем команда А выиграла три из четырех игр. В регулярном сезоне они больше не встретятся. Таким образом, команда А имеет преимущество на тай-брейке над командой Б, и ей достаточно финишировать с таким же количеством побед, как и команде Б, чтобы опередить команду Б в турнирной таблице. Следовательно, мы можем вычислить магическое число команды А как 82 – 60 – 20 = 2. Если команда А выиграет две из семи оставшихся игр, она завершит игру со счетом 62–20. Если команда Б выиграет все семь оставшихся игр, она также финиширует со счетом 62–20. Однако, поскольку команда Б проигрывает на тай-брейке по результатам личных встреч, команда А становится победителем дивизиона. В тех случаях, когда победители потенциальных тай-брейков еще не определены (например, потому, что командам еще предстоит сыграть несколько игр друг против друга), обычно принято рассчитывать магические числа участвующих команд так, как будто они проиграют тай-брейк. , и подсчитать количество выбывших таких команд, как если бы они выиграли тай-брейк.

По соглашению, магическое число обычно используется только для описания команды, занявшей первое место, относительно команд, которые она возглавляет. Однако одни и те же математические формулы можно применить к любой команде, как к командам, которые лидируют, так и к командам, отстающим. В этих случаях команда, не занимающая первое место, будет зависеть от того, что лидирующая команда проиграет несколько игр, чтобы она могла догнать их, поэтому магическое число будет больше, чем количество оставшихся игр. В конечном счете, для команд, которые больше не участвуют в соревнованиях, их магическое число будет больше, чем их оставшиеся игры + оставшиеся игры для команды, занявшей первое место, что будет невозможно преодолеть.

Вывод

Формула магического числа выводится следующим образом. то конкретный момент сезона пусть у команды А будут WA _победы и поражения LA _{Как и раньше, в какой -} . Предположим, что в какой-то момент времени команда А имеет w _A дополнительных побед и l _A дополнительных поражений, и аналогичным образом определим W _B , L _B , w _B , l _B для команды B. Общее количество побед, которое команде B необходимо компенсировать таким образом, определяется формулой ( W _A + w _A ) − ( W _B + w _B ). Команда А выигрывает, когда это число превышает количество игр, оставшихся у команды Б, поскольку в этот момент Команда Б не может восполнить дефицит, даже если Команда А не сможет выиграть больше игр. Если в сезоне всего G игр, то количество игр, оставшихся для команды B, определяется как G − ( W _B + w _B + L _B + l _B ). условием клинча команды А является то, что ( WA _{Таким образом ,} + w _A ) − ( W _B + w _B ) = 1 + G − ( W _B + w _B + L _B + l _B ). Сокращая общие члены, получаем w _A + l _B = G + 1 − WA _{, что и} − L _B устанавливает формулу магического числа.

Игры, в которые играли причудливо

В следующем примере магическое число команды А равно 5, потому что даже несмотря на то, что она может устранить команду Б, занявшую второе место, в 4 дополнительных играх, потребуется 5 игр, чтобы гарантированно устранить команду С, занявшую третье место. Для расчета магического числа необходимо использовать наименьшее количество поражений среди остальных команд-соперников: 162 + 1 − 88 − 70 = 5.

Команда	Победы	Потери	пкт	ГБ	И#
А	88	56	.611	--	--
Б	75	71	.514	14.0	4
С	73	70	.510	14.5	5

Причуда тай-брейка

Другой сценарий, в котором магическое число может отличаться от математического расчета числа, может возникнуть при возникновении сценария тай-брейка. В большинстве видов спорта существует ряд методов тай-брейка, предназначенных для борьбы с возможными случаями установления рекордов в конце сезона. Обычно первый из этих методов предполагает очные встречи команд и определение того, какая команда выиграла больше игр у другой в течение сезона.

В приведенном ниже примере у команд A и B осталось по 12 игр, и математическая формула определяет магическое число 6 для команды A. 162+1-83-74=6.

Однако, если команда А выиграет только 5 из оставшихся игр и завершит сезон с результатом 88–74, а команда Б выиграет все оставшиеся игры и завершит сезон с ничейным результатом, команда А выиграет титул в дивизионе, если у них есть рекорд победы над командой Б в течение сезона, что означает, что в приведенном ниже примере команда А на самом деле имеет магическое число 5.

Команда	Победы	Потери	пкт	ГБ
А	83	67	.553	--
Б	76	74	.507	7.0

Тонкость

Иногда может показаться, что у команды есть математический шанс на победу, хотя на самом деле она уже выбыла из-за расписания. В этом сценарии Высшей бейсбольной лиги в сезоне осталось три игры. Предполагается, что команды A, B и C имеют право участвовать только в чемпионате дивизиона; команды с лучшими показателями в других дивизионах уже заняли три доступных места «wild card»:

Команда	Победы	Потери
А	87	72
Б	87	72
С	85	74

Если бы команда C выиграла все три оставшиеся игры, она закончила бы со счетом 88–74, а если бы обе команды A и B проиграли свои три оставшиеся игры, они закончили бы со счетом 87–75, что сделало бы команду C победителем дивизиона. . Однако, если команды А и Б сыграют друг против друга в последние выходные (в серии из трех игр), обе команды не смогут проиграть три оставшиеся игры. Один из них выиграет как минимум две игры и тем самым завоюет титул чемпиона дивизиона с рекордом 90–72 или 89–73. Более прямым следствием этой ситуации является то, что команды A и B также не могут финишировать вничью друг с другом, а команда C не может выиграть дивизион.

Можно однозначно сказать, выбыла ли команда, используя алгоритм задачи о максимальном потоке .

Добавление второй команды Wild Card делает возможным в бейсболе обратный сценарий (когда команда фактически вышла в постсезон, хотя кажется, что ее все еще можно выбить). В этом сценарии для Wild Card:

Команда	Победы	Потери
А	89	70
Б	87	72
С	87	72

Если команды B и C проводят свои последние три игры друг против друга, а все остальные команды завоевали свои дивизионы или математически исключены из догоняющей команды A, то команда A получит, по крайней мере, второе место Wild Card, поскольку это будет невозможно для Команды B и C должны выиграть достаточно игр, чтобы догнать команду A.

Обратный сценарий чаще встречается в видах спорта, где больше мест в постсезоне, принося пользу командам, которые находятся в финальных позициях плей-офф, но их преследуют команды, которым еще предстоит играть друг с другом. Иногда оба сценария могут произойти одновременно. В следующем сценарии Национальной баскетбольной ассоциации для команд, занимающих места с седьмого по десятое в турнирной таблице конференции:

Команда	Победы	Потери
А	42	38
Б	41	39
С	41	39
Д	40	40

Если командам B и C придется сыграть одну из двух последних игр друг против друга, а команда A удерживает тай-брейк против команд B, C и D, то команда A получит путевку в плей-офф, поскольку ее не могут обогнать обе команды B и C. C. Кроме того, если Команда D не проведет тай-брейк против какой-либо из Команд A, B и C, то она выбывает из борьбы за плей-офф, поскольку не может обогнать обе Команды B и C.

Похожий сценарий иногда происходит в европейских футбольных лигах и других соревнованиях, в которых используются повышение и понижение . В этом сценарии для футбольной лиги из 20 команд, которая играет в формате двойной круговой системы , присуждаются три очка за победу и одно за ничью и понижаются команды, занявшие 18, 19 и 20 места:

Позиция	Команда	Играл	Очки
16	А	36	38
17	Б	36	34
18	С	36	32
19	Д	36	28

Если команда А проиграет свои последние два матча, она закончит с 38 очками, а если команда D выиграет свои последние два матча, она закончит с 34 очками. Тем не менее, независимо от разницы мячей или любого другого тай-брейка, если командам B и C все равно придется играют друг с другом, то команда A застрахована от вылета, поскольку команды B и C не могут обе набрать 38 очков, а команда D будет переведена в низшую лигу, поскольку команды B и C не могут финишировать с результатом менее 35 очков.

Альтернативный метод

Для определения номера на выбывание можно использовать другой метод, в котором используются только оставшиеся игры ( $GR_{L},GR_{T}$) и статистика игр за лидером (GBL): $E={\frac {GR_{L}+GR_{T}}{2}}-GBL+1$,
где $GR_{L}$ означает «Игры, оставшиеся за лидером» (аналогично, $GR_{T}$ означает «Игры, оставшиеся для трейлера»).

Вернитесь к примеру, представленному выше. Номер на выбывание для команды B снова равен «5»: $E={\frac {8+7}{2}}-3.5+1$.

Этот метод необходимо использовать, если команды проводят разное количество игр за весь сезон, например, из-за отмен или ничьих, которые не будут переиграны. Обратите внимание, что этот алгоритм также ограничен вышеупомянутыми тонкостями.

См. также

• Игры позади
• Исключение из постсезона

Внешние ссылки

• Сравнение нескольких эквивалентных формул
• RIOT - подход к исследованию операций, примененный к Высшей лиге бейсбола