Круговой турнир

Для применения к методам голосования см. метод Коупленда .

Пример кругового турнира с 10 участниками.

Турнир по круговой системе или турнир по принципу «все играют все» — это формат соревнований, в котором каждый участник встречается с каждым другим участником, обычно по очереди. Круговая система отличается от турнира на выбывание , в котором участники выбывают после определенного количества побед или поражений.

Терминология

Термин «циклический» происходит от французского термина «рубан» («лента»). Со временем этот термин стал идиомой Робина .

В рамках одного кругового турнира каждый участник играет с каждым другим участником один раз. Если каждый участник играет со всеми остальными дважды, это часто называют двойным круговым турниром . Этот термин редко используется, когда все участники играют друг с другом более двух раз. и никогда не используется, когда один участник играет с другими неодинаковое количество раз, как это происходит почти во всех основных профессиональных спортивных лигах Северной Америки.

В Соединенном Королевстве турнир по круговой системе называется американским турниром по таким видам спорта, как теннис или бильярд, в которых обычно проводятся турниры с выбыванием (или «на выбывание»), хотя сейчас это делается редко.

Турнир по круговой системе с участием четырех игроков иногда называют «четверкой» или «четверкой».

Приложения

В видах спорта с большим количеством соревновательных матчей за сезон распространены двойные круговые турниры. Большинство футбольных лиг в мире организованы по двойной круговой системе, при которой каждая команда играет со всеми остальными в своей лиге один раз дома и один раз на выезде. Эта система также используется в квалификации крупных турниров, таких как чемпионат мира по футболу и континентальные турниры (например, чемпионат Европы УЕФА , Золотой кубок КОНКАКАФ , Кубок Азии АФК , Кубок Америки КОНМЕБОЛ и Кубок наций КАФ ). Также проводятся турниры по круговому бриджу , шахматам , шашкам , го , хоккею , керлингу и скрэббл . Чемпионат мира по шахматам в 2005 и 2007 годах принял решение о проведении двойного кругового турнира с участием восьми игроков, в котором каждый игрок встречается с каждым другим игроком один раз как белый и один раз как черный.

В более радикальном примере лига КБО бейсбольная . играет по 16-кратной круговой системе, где каждая из 10 команд играет друг с другом 16 раз, всего 144 игры на команду

LIDOM (Зимняя бейсбольная лига в Доминиканской Республике) проводит полуфинальный турнир по 18-кратной круговой системе между четырьмя классифицированными командами.

Рейтинги групповых турниров обычно строятся по количеству выигранных матчей и ничьих с использованием любого из множества критериев тай-брейка.

Часто этапы пула в рамках более широкого турнира проводятся по круговой системе. Примеры с единым круговым планированием включают чемпионат мира по футболу , чемпионат Европы по футболу УЕФА и Кубок УЕФА (2004–2009) по футболу, Супер Регби ( союз регби ) в Южном полушарии во время его прошлых итераций как Супер 12 и Супер 14 ( но не в более поздних форматах с 15 и 18 командами), чемпионат мира по крикету вместе с Индийской премьер-лигой , крупный турнир по крикету Twenty-20 и многие по американскому футболу конференции колледжей , такие как Конференция США (которая в настоящее время насчитывает 9 участников). . Групповые этапы клубных соревнований УЕФА и Кубка Либертадорес проводятся по двойной круговой системе, как и большинство баскетбольных лиг за пределами США, включая регулярный сезон Евролиги ( а также ее бывший этап 16 лучших); Объединенная футбольная лига использовала двойную круговую систему в сезонах 2009 и 2010 годов .

Теннисные турниры, завершающие сезон, также используют круговой формат перед полуфиналом.

Оценка

Преимущества

Чемпионом в круговом турнире становится участник, выигравший наибольшее количество игр, за исключением случаев, когда возможна ничья.

Теоретически, круговой турнир — самый справедливый способ определить чемпиона из известного и фиксированного числа участников. Каждый участник, будь то игрок или команда, имеет равные шансы против всех остальных соперников, поскольку не существует предварительного посева участников, который исключал бы матч между любой данной парой. Считается, что элемент удачи уменьшен по сравнению с системой на выбывание, поскольку одно или два неудачных выступления не обязательно снижают шансы участника на окончательную победу. Итоговые записи участников более точны в том смысле, что они отражают результаты за более длительный период против одной и той же оппозиции.

Система также лучше подходит для ранжирования всех участников, а не только для определения победителя. Это полезно для определения окончательного места всех участников, от сильнейшего до самого слабого, для целей квалификации на следующий этап или соревнование, а также для получения призовых денег.

В командных видах спорта «лучшей» командой страны обычно считаются чемпионы высшей лиги по круговой системе, а не обладатели кубков, чьи турниры обычно проводятся в формате с одним выбыванием.

Более того, в таких турнирах, как чемпионаты мира по футболу или чемпионаты мира по футболу ICC, этап первого раунда, состоящий из нескольких мини-круговых турниров между группами по 4 команды, защищает от возможности того, что команда проедет тысячи миль только для того, чтобы вылететь после всего лишь одного неудачного матча. выступление в системе прямого нокаута. Одна, две, а иногда и три лучшие команды в этих группах затем переходят в стадию плей-офф до конца турнира.

В кругу смерти возможно, что ни один чемпион не выйдет из кругового турнира, даже если не будет ничьей, но в большинстве видов спорта есть системы тай-брейка, которые решают эту проблему.

Недостатки

Круговые турниры могут быть слишком длинными по сравнению с другими типами турниров, а игры, запланированные на более позднее время, потенциально не будут иметь никакого существенного значения. Они также могут потребовать процедуры разрешения споров.

Турниры по швейцарской системе пытаются объединить элементы круговой системы и формата на выбывание, чтобы обеспечить достойного чемпиона, используя меньшее количество раундов, чем круговая система, допуская при этом ничьи и поражения.

Продолжительность турнира

Основным недостатком кругового турнира является время, необходимое для его завершения. В отличие от турнира на выбывание, где половина участников выбывает после каждого раунда, для кругового турнира требуется на один раунд меньше, чем количество участников. Например, турнир с участием 16 команд можно пройти всего за 4 тура (т.е. 15 матчей) в формате на выбывание; формат турнира с двойным выбыванием требует 30 (или 31) матчей, но для завершения кругового турнира потребуется 15 раундов (т. е. 120 матчей), если каждый участник встречается друг с другом один раз.

Другие проблемы возникают из-за разницы между теоретической справедливостью кругового формата и практикой реальных соревнований. Поскольку победитель постепенно определяется в ходе нескольких раундов игры, команды, которые показывают плохие результаты и которые могли быть быстро исключены из борьбы за титул, вынуждены доигрывать оставшиеся игры. Таким образом, игры проводятся в конце соревнования между участниками, и шансов на успех не остается. Более того, в некоторых более поздних матчах один участник, которому еще есть за что играть, будет объединяться с другим, у которого этого нет. Один из участников также может быстро играть с самыми сильными соперниками по круговой системе, в то время как другие периодически играют с ними с более слабым соперником. Эта асимметрия означает, что игра с одними и теми же противниками не обязательно является полностью равноправной.

Также не запланировано показательного финального матча, если только (по совпадению) два участника не встретятся в последнем матче турнира, и результат этого матча определит чемпионство. Ярким примером такого события стал чемпионата мира по футболу 1950 года матч между Уругваем и Бразилией .

Квалифицированные команды

Дополнительные проблемы возникают, когда круговая система используется в качестве квалификационного раунда в рамках более крупного турнира. Участник, уже прошедший квалификацию в следующий этап перед своей последней игрой, может либо не стараться изо всех сил (чтобы сохранить ресурсы для следующего этапа), либо даже намеренно проиграть (если запланированный соперник следующего этапа для квалификационного турнира, занявшего более низкое место, воспринимается как проще, чем для более высокопоставленного).

Четыре пары Олимпийских игр 2012 года в женском парном бадминтоне , прошедшие квалификацию в следующий раунд, были исключены из соревнований за попытку проиграть на этапе круговой системы, чтобы избежать соотечественников и соперников с более высоким рейтингом. Этап круговой системы на Олимпийских играх был новым явлением, и об этих потенциальных проблемах было легко известно еще до турнира; изменения были внесены перед следующими Олимпийскими играми, чтобы предотвратить повторение этих событий.

Круг смерти

Еще одним недостатком, особенно в небольших круговых турнирах, является «круг смерти», когда команды не могут быть разделены по количеству личных встреч. В круговой системе с участием трех команд, где A побеждает B, B побеждает C и C побеждает A, у всех трех участников будет одна победа и одно поражение, и для разделения команд необходимо будет использовать тай-брейк. Это известно как произошло во время группы E чемпионата мира по футболу 1994 года , где все четыре команды финишировали с рекордом: одна победа, одна ничья и одно поражение. Это явление аналогично парадоксу Кондорсе в теории голосования.

Алгоритм планирования

Если $n$ количество участников, для проведения чисто кругового турнира требуется ${\begin{matrix}{\frac {n}{2}}\end{matrix}}(n-1)$ игры. Если $n$ четно, то в каждом из $(n-1)$ раунды, ${\begin{matrix}{\frac {n}{2}}\end{matrix}}$ игры могут проводиться одновременно при наличии достаточных ресурсов (например, кортов для теннисного турнира). Если $n$ странно, будет $n$ раунды, каждый из которых ${\begin{matrix}{\frac {n-1}{2}}\end{matrix}}$ игры, и у одного участника не было игры в этом раунде.

Метод круга

Метод круга — это простой алгоритм создания расписания кругового турнира. Всем участникам присваиваются номера, а затем в первом туре формируются пары:

Раунд 1. (1 играет 14, 2 играет 13, ...)

1	2	3	4	5	6	7
14	13	12	11	10	9	8

Далее фиксируется один из участников в первом или последнем столбце таблицы (в данном примере номер один), а остальные поворачиваются по часовой стрелке на одну позицию:

Раунд 2. (1 играет 13, 14 играет 12, ...)

1	14	2	3	4	5	6
13	12	11	10	9	8	7

Раунд 3. (1 играет 12, 13 играет 11, ...)

1	13	14	2	3	4	5
12	11	10	9	8	7	6

Это повторяется до тех пор, пока следующая итерация не приведет к исходным парам:

Раунд 13. (1 играет 2, 3 играет 14, ...)

1	3	4	5	6	7	8
2	14	13	12	11	10	9

С четным числом $n$ конкурентов, этот алгоритм реализует все возможные их комбинации (что эквивалентно тому, что все реализованные пары попарно различны).

Во-первых, алгоритм, очевидно, реализует каждую пару конкурентов, если один из них равен $1$ (неподвижный конкурент).

Далее, для пар не- $1$ конкуренты, пусть их расстояние будет числом $k<{\frac {n}{2}}$ Иногда необходимо выполнить ротацию, чтобы один участник занял позицию, которую занимал другой.

В приведенном примере ( $n=14$), $2$ имеет расстояние $1$ к $3$ и чтобы $14$ и у него есть расстояние $6$ к $8$ и чтобы $9$.

В раунде некрайняя левая позиция (не включая $1$) могут проходить только участники фиксированной дистанции. В раунде $1$ примера, на второй позиции конкурент $2$ играет против $13$, их расстояние $2$. В раунде $2$, эту позицию занимают конкуренты $14$ и $12$, также имеющий расстояние $2$и т. д. Аналогично следующая позиция ( $3$ против $12$ в раунде $1$, $2$ против $11$ в раунде $2$и т. д.) может удерживать только дистанцию- $4$ конкуренты.

Для каждого $k<{\frac {n}{2}}$, есть точно $n-1$ пары расстояний $k$. Есть $n-1$ раунды, и все они реализуют одну дистанцию- $k$ пара в одной и той же позиции. Очевидно, что эти пары попарно различны. Вывод состоит в том, что каждое расстояние- $k$ пара реализована.

Это справедливо для каждого $k$, следовательно, каждая пара реализуется.

Если количество участников нечетное, можно добавить фиктивного участника, чей запланированный соперник в данном раунде не играет и прощается . Таким образом, расписание можно рассчитать так, как если бы манекен был обычным игроком, фиксированным или вращающимся.

Вместо поворота на одну позицию любое число, относительно простое $(n-1)$ создаст полное расписание. Верхний и нижний ряды могут обозначать дома/в гостях в спорте, белые/черные в шахматах и ​​т. д.; для обеспечения справедливости это должно чередоваться между раундами, поскольку участник 1 всегда находится в первом ряду. Если, скажем, участники 3 и 8 не смогли выполнить свое задание в третьем раунде, его необходимо будет перенести за пределы других раундов, поскольку оба участника уже встретятся с другими соперниками в этих раундах. Более сложные ограничения планирования могут потребовать более сложных алгоритмов. Такое расписание применяется в шахматных и шашечных турнирах по быстрым играм, где игроки физически перемещаются вокруг стола. Во Франции это называется системой Карусель -Бергер (Système Rutch-Berger).

Расписание также можно использовать для «асинхронных» круговых турниров, где все игры проходят в разное время (например, потому, что площадка только одна). В каждом туре игры проводятся слева направо и от первого тура до последнего. Когда количество участников четное, этот график хорошо работает с точки зрения качества и справедливости, таких как количество отдыха между играми. С другой стороны, когда число участников нечетное, оно не работает так хорошо, и другой график предпочтительнее с точки зрения этих мер.

Столы Бергера

Альтернативно таблицы Бергера, названные в честь австрийского шахматного мастера Иоганна Бергера , широко используются при планировании турниров. Бергер опубликовал таблицы жеребьёвки в двух своих книгах Schach-Jahrbücher («Шахматные летописи»). со ссылкой на его изобретателя Ричарда Шурига.

Раунд 1	1 – 14	2 – 13	3 – 12	4 – 11	5 – 10	6 – 9	7 – 8
Раунд 2	14 – 8	9 – 7	10 – 6	11 – 5	12 – 4	13 – 3	1 – 2
Раунд 3	2 – 14	3 – 1	4 – 13	5 – 12	6 – 11	7 – 10	8 – 9
...	...
Раунд 13	7 – 14	8 – 6	9 – 5	10 – 4	11 – 3	12 – 2	13 – 1

Это представляет собой график, в котором игрок 14 имеет фиксированную позицию, а все остальные игроки вращаются против часовой стрелки. ${\frac {n}{2}}$ позиции. Этот график легко генерируется вручную. Чтобы построить следующий раунд, последний игрок, номер 8 в первом раунде, перемещается во главе стола, за ним следует игрок 9 против игрока 7, игрок 10 против игрока 6, пока игрок 1 не против игрока 2. Арифметически это равно добавление ${\frac {n}{2}}$ к предыдущей строке, за исключением игрока $n$. Если результат сложения превышает $(n-1)$, затем вычтите $(n-1)$ от суммы.

Это расписание также можно представить в виде (n-1, n-1) таблицы, обозначающей раунд, в котором игроки встречаются друг с другом. Например, игрок 7 играет против игрока 11 в 4 туре. Если игрок встречается сам с собой, то это означает прощание или игру против игрока n. Все игры в раунде составляют диагональ в таблице.

Диагональная схема × 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13

Расписание кругового турнира × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 8 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 9 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 10 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Приведенный выше график также можно представить в виде графика, как показано ниже:

Диаграмма интервала расписания циклического обслуживания

И график, и график были представлены Эдуардом Лукасом в как развлекательная математическая головоломка. Лукас, который описывает метод как простой и гениальный , приписывает решение Феликсу Валецки, преподавателю лицея Кондорсе . Лукас также предложил альтернативное решение в виде раздвижной головоломки .

Оригинальная конструкция парных таблиц Ричарда Шурига (1886 г.)

Для четного числа $n$ или нечетное число $n-1$ или конкуренты, Шуриг строит таблицу с $n/2$ вертикальные ряды и $n-1$ горизонтальные ряды. Затем он заполняет его, начиная с верхнего левого угла, повторяя последовательность чисел от 1 до $n-1$. Вот пример таблицы для 7 или 8 участников:

Раунд 1	1	2	3	4
Раунд 2	5	6	7	1
Раунд 3	2	3	4	5
Раунд 4	6	7	1	2
Раунд 5	3	4	5	6
Раунд 6	7	1	2	3
Раунд 7	4	5	6	7

Затем, чтобы получить оппонентов, строится второй стол. Каждый горизонтальный ряд $x$ заполняется теми же числами, что и строка $x+1$ в предыдущей таблице (последняя строка заполняется числами из первой строки исходной таблицы), но в обратном порядке (справа налево).

Раунд 1	– 1	– 7	– 6	– 5
Раунд 2	– 5	– 4	– 3	– 2
Раунд 3	– 2	– 1	– 7	– 6
Раунд 4	– 6	– 5	– 4	– 3
Раунд 5	– 3	– 2	– 1	– 7
Раунд 6	– 7	– 6	– 5	– 4
Раунд 7	– 4	– 3	– 2	– 1

Объединив приведенные выше таблицы:

Раунд 1	1 – 1	2 – 7	3 – 6	4 – 5
Раунд 2	5 – 5	6 – 4	7 – 3	1 – 2
Раунд 3	2 – 2	3 – 1	4 – 7	5 – 6
Раунд 4	6 – 6	7 – 5	1 – 4	2 – 3
Раунд 5	3 – 3	4 – 2	5 – 1	6 – 7
Раунд 6	7 – 7	1 – 6	2 – 5	3 – 4
Раунд 7	4 – 4	5 – 3	6 – 2	7 – 1

Затем обновляется первый столбец: если число участников четное, номер игрока $n$ поочередно заменяет первую и вторую позиции, тогда как, если количество участников нечетное, вместо этого используется «пока».

Таблицы жеребьёвки были опубликованы в качестве приложения, касающегося порядка проведения мастер-турниров. Шуриг не предоставил ни доказательств, ни обоснования своего алгоритма.

См. также

• Система рейтинга групповых турниров , включая подробную информацию о системах тай-брейка.
• Комбинаторный план , сбалансированный турнирный план порядка n (a BTD( n ))
• Турнир (теория графов) , математическая модель кругового турнира.
• Турнир по системе МакМэхона , вариант швейцарской системы, который включает в себя рейтинги перед турниром, чтобы предотвратить ранние однобокие пары.
• Система плей-офф Шонесси — разновидность турнира с выбыванием из игры, в котором участвуют четыре команды.
• Система Макинтайра — серия турнирных форматов, сочетающих в себе особенности турниров с одним и двойным выбыванием.
• Дублирование движений моста
• Список круговых шахматных турниров
• Система Схевенингена , где каждый член одной команды играет с каждым членом другой.
• метод Коупленда
• Метод Кондорсе
• Критерий Кондорсе
• Три очка за победу , для кругового турнира, последствия различных систем подсчета очков.