Более сильные отношения неопределенности

Гейзенберга Соотношение неопределенности — один из фундаментальных результатов квантовой механики. Позже Робертсон доказал соотношение неопределенности для двух общих некоммутирующих наблюдаемых : который был усилен Шрёдингером . Однако обычное соотношение неопределенности, такое как соотношение Робертсона-Шредингера, не может дать нетривиальную оценку произведения дисперсий двух несовместимых наблюдаемых, поскольку нижняя граница в неравенствах неопределенности может быть нулевой и, следовательно, тривиальной даже для наблюдаемых, несовместимых на состояние системы. Соотношение неопределенностей Гейзенберга-Робертсона-Шредингера было доказано на заре квантового формализма и постоянно присутствует в преподавании и исследованиях в области квантовой механики. Спустя примерно 85 лет существования соотношения неопределенностей эта проблема была недавно решена Лоренцо Макконе и Аруном К. Пати .Стандартные соотношения неопределенностей выражаются через произведение дисперсий результатов измерений наблюдаемых величин. $A$ и $B$, и произведение может быть нулевым, даже если одна из двух дисперсий отлична от нуля. Однако более сильные соотношения неопределенности, предложенные Макконе и Пати, обеспечивают другие соотношения неопределенности, основанные на сумме дисперсий, которые гарантированно будут нетривиальными, когда наблюдаемые несовместимы с состоянием квантовой системы. (Более ранние работы по соотношениям неопределенностей, сформулированным как сумма дисперсий, включают, например, He et al., и исх. из-за Хуана.)

Соотношения неопределенности Макконе – Пати.

Соотношения неопределенности Гейзенберга-Робертсона или Шредингера не полностью отражают несовместимость наблюдаемых в данном квантовом состоянии. Более сильные соотношения неопределенности дают нетривиальные границы суммы дисперсий двух несовместимых наблюдаемых. Для двух некоммутирующих наблюдаемых $A$ и $B$ первое более сильное соотношение неопределенностей имеет вид

$\Delta A^{2}+\Delta B^{2}\geq \pm i\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle +|\langle \Psi |(A\pm iB)|{\bar {\Psi }}\rangle |^{2},$

где $\Delta A^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi |A|\Psi \rangle ^{2}$, $\Delta B^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi |B|\Psi \rangle ^{2}$, $|{\bar {\Psi }}\rangle$ – вектор, ортогональный состоянию системы, т. е. $\langle \Psi |{\bar {\Psi }}\rangle =0$ и следует выбрать знак $\pm i\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle$ так что это положительное число.

Другое нетривиальное более сильное соотношение неопределенности имеет вид

$\Delta A^{2}+\Delta B^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}|(A+B)|\Psi \rangle |^{2},$

где $|{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle$ — единичный вектор, ортогональный $|\Psi \rangle$.Форма $|{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle$ означает, что правая часть нового соотношения неопределенностей не равно нулю, если только $|\Psi \rangle$ является собственным состоянием $(A+B)$.

Можно доказать улучшенная версия соотношения неопределенностей Гейзенберга – Робертсона, которая выглядит как

$\Delta A\Delta B\geq {\frac {\pm {\frac {i}{2}}\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle }{1-{\frac {1}{2}}|\langle \Psi |({\frac {A}{\Delta A}}\pm i{\frac {B}{\Delta B}})|{\bar {\Psi }}\rangle |^{2}}}.$

Соотношение неопределенностей Гейзенберга – Робертсона следует из приведенного выше соотношения неопределенностей.

Примечания

В квантовой теории следует различать соотношение неопределенности и принцип неопределенности. Первое относится исключительно к подготовке системы, которая вызывает разброс результатов измерения, и не относится к помехам, вызванным измерением. Принцип неопределенности учитывает помехи измерения аппаратуры и невозможность совместных измерений несовместимых наблюдаемых величин. Соотношения неопределенности Макконе – Пати относятся к соотношениям неопределенности подготовки. Эти отношения накладывают строгие ограничения на отсутствие общих собственных состояний для несовместимых наблюдаемых. Соотношения неопределенности Макконе-Пати были экспериментально проверены на системах кутрита. Новые соотношения неопределенности отражают несовместимость не только наблюдаемых величин, но и величин, которые физически измеримы (поскольку дисперсии можно измерить в эксперименте).

Другие источники

• Обзор исследования, NATURE ASIA, 19 января 2015 г.: «Соотношение неопределенности Гейзенберга становится сильнее».