Функция управления-Ляпунова

В теории управления — функция управления-Ляпунова (ФУЛ). является расширением идеи функции Ляпунова $V(x)$ к системам с управляющими входами . Обычная функция Ляпунова используется для проверки того, ли динамическая система является (Ляпунов) устойчивой или (более ограничительно) асимптотически устойчивой . Устойчивость по Ляпунову означает, что если система запускается в состоянии $x\neq 0$ в некотором домене D , то состояние останется в D навсегда. Для асимптотической устойчивости состояние также должно сходиться к $x=0$. Функция управления-Ляпунова используется для проверки того, является ли система асимптотически стабилизируемой , то есть существует ли для любого состояния x управление $u(x,t)$ такая, что систему можно асимптотически перевести в нулевое состояние, применяя управление u .

Теория и применение функций управления-Ляпунова были разработаны Цви Арштейном и Эдуардо Д. Зонтагом в 1980-х и 1990-х годах.

Определение

Рассмотрим автономную динамическую систему с входами

${\dot {x}}=f(x,u)$ ( 1 )

где $x\in \mathbb {R} ^{n}$ вектор состояния и $u\in \mathbb {R} ^{m}$ – вектор управления. Предположим, наша цель — привести систему к равновесию. $x_{*}\in \mathbb {R} ^{n}$ из каждого начального состояния в некоторой области $D\subset \mathbb {R} ^{n}$. Без ограничения общности предположим, что равновесие находится в состоянии $x_{*}=0$ (для равновесия $x_{*}\neq 0$, его можно перевести в начало координат заменой переменных).

Определение. Функция управления-Ляпунова (ФУЛ) – это функция $V:D\to \mathbb {R}$ , непрерывно дифференцируемый положительно определенный (т. е. $V(x)$ позитивен для всех $x\in D$ кроме как в $x=0$ где оно равно нулю), и такое, что для всех $x\in \mathbb {R} ^{n}(x\neq 0),$ существует $u\in \mathbb {R} ^{m}$ такой, что

${\dot {V}}(x,u):=\langle \nabla V(x),f(x,u)\rangle <0,$

где $\langle u,v\rangle$ обозначает продукт внутренний $u,v\in \mathbb {R} ^{n}$.

Последнее условие является ключевым условием; на словах это говорит о том, что для каждого состояния x мы можем найти управление u , которое уменьшит «энергию» V . Интуитивно понятно, что если в каждом состоянии мы всегда можем найти способ уменьшить энергию, мы в конечном итоге сможем асимптотически довести энергию до нуля, то есть остановить систему. Это подтверждается теоремой Артштейна .

Некоторые результаты применимы только к системам, аффинным по управлению, т. е. к системам управления следующего вида:

${\dot {x}}=f(x)+\sum _{i=1}^{m}g_{i}(x)u_{i}$ ( 2 )

где $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ и $g_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ для $i=1,\dots ,m$.

Теоремы

Эдуардо Зонтаг показал, что для данной системы управления существует непрерывная КФП тогда и только тогда, когда начало координат асимптотически стабилизируемо. показали Позже Фрэнсис Кларк , Юрий Ледяев, Эдуардо Зонтаг и А.И. Субботин , что каждую асимптотически управляемую систему можно стабилизировать с помощью (обычно прерывистой) обратной связи. Артштейн доказал, что динамическая система ( 2 ) имеет дифференцируемую функцию управления-Ляпунова тогда и только тогда, когда существует регулярная стабилизирующая обратная связь u ( x ).

Построение стабилизирующего входа

Часто бывает трудно найти функцию управления-Ляпунова для данной системы, но если она найдена, то задача стабилизации с обратной связью значительно упрощается. Для аффинной системы управления ( 2 ) формула Зонтаг (или универсальная формула Зонтаг ) дает закон обратной связи $k:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ непосредственно через производные CLF. В частном случае системы с одним входом $(m=1)$, формула Зонтаг записывается как

$k(x)={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {L_{f}V(x)+{\sqrt {\left[L_{f}V(x)\right]^{2}+\left[L_{g}V(x)\right]^{4}}}}{L_{g}V(x)}}&{\text{ if }}L_{g}V(x)\neq 0\\0&{\text{ if }}L_{g}V(x)=0\end{cases}}$

где $L_{f}V(x):=\langle \nabla V(x),f(x)\rangle$ и $L_{g}V(x):=\langle \nabla V(x),g(x)\rangle$ являются производными Ли $V$ вдоль $f$ и $g$, соответственно.

Для общей нелинейной системы ( 1 ) вход $u$ можно найти, решив задачу статического нелинейного программирования

$u^{*}(x)={\underset {u}{\operatorname {arg\,min} }}\nabla V(x)\cdot f(x,u)$

для каждого состояния x .

Пример

Вот характерный пример применения функции-кандидата Ляпунова к задаче управления.

Рассмотрим нелинейную систему, которая представляет собой систему масса-пружина-демпфер с жесткостью пружины и массой, зависящей от положения, описываемой формулой

$m(1+q^{2}){\ddot {q}}+b{\dot {q}}+K_{0}q+K_{1}q^{3}=u$

Теперь, учитывая желаемое состояние, $q_{d}$и фактическое состояние, $q$, с ошибкой, $e=q_{d}-q$, определите функцию $r$ как

$r={\dot {e}}+\alpha e$

Тогда кандидат «Контроля-Ляпунова»

$r\mapsto V(r):={\frac {1}{2}}r^{2}$

что положительно для всех $r\neq 0$.

Теперь возьмем производную по времени от $V$

${\dot {V}}=r{\dot {r}}$

${\dot {V}}=({\dot {e}}+\alpha e)({\ddot {e}}+\alpha {\dot {e}})$

Цель состоит в том, чтобы получить производную по времени, которая будет

${\dot {V}}=-\kappa V$

которое является глобально экспоненциально устойчивым, если $V$ глобально положительно определен (что и есть).

Следовательно, нам нужна самая правая скобка ${\dot {V}}$,

$({\ddot {e}}+\alpha {\dot {e}})=({\ddot {q}}_{d}-{\ddot {q}}+\alpha {\dot {e}})$

выполнить требование

$({\ddot {q}}_{d}-{\ddot {q}}+\alpha {\dot {e}})=-{\frac {\kappa }{2}}({\dot {e}}+\alpha e)$

что при подмене динамики, ${\ddot {q}}$, дает

$\left({\ddot {q}}_{d}-{\frac {u-K_{0}q-K_{1}q^{3}-b{\dot {q}}}{m(1+q^{2})}}+\alpha {\dot {e}}\right)=-{\frac {\kappa }{2}}({\dot {e}}+\alpha e)$

Решение для $u$ дает закон управления

$u=m(1+q^{2})\left({\ddot {q}}_{d}+\alpha {\dot {e}}+{\frac {\kappa }{2}}r\right)+K_{0}q+K_{1}q^{3}+b{\dot {q}}$

с $\kappa$ и $\alpha$, оба больше нуля, как настраиваемые параметры

Этот закон управления будет гарантировать глобальную экспоненциальную устойчивость, поскольку при подстановке во временную производную, как и ожидалось, получим

${\dot {V}}=-\kappa V$

которое представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее решение

$V=V(0)\exp(-\kappa t)$

А отсюда и ошибка и коэффициент ошибок, помня, что $V={\frac {1}{2}}({\dot {e}}+\alpha e)^{2}$, экспоненциально спадая до нуля.

Если вы хотите настроить конкретный ответ на основе этого, необходимо заменить его обратно на решение, которое мы получили для $V$ и решить для $e$. Это оставлено в качестве упражнения для читателя, но первые несколько шагов к решению таковы:

$r{\dot {r}}=-{\frac {\kappa }{2}}r^{2}$

${\dot {r}}=-{\frac {\kappa }{2}}r$

$r=r(0)\exp \left(-{\frac {\kappa }{2}}t\right)$

${\dot {e}}+\alpha e=({\dot {e}}(0)+\alpha e(0))\exp \left(-{\frac {\kappa }{2}}t\right)$

которое затем можно решить любыми методами линейных дифференциальных уравнений.

См. также

• Теорема Артштейна
• оптимизация Ляпунова
• Дрифт плюс штраф