Модель «масса-пружина-демпфер»

Классическая модель, используемая для вывода уравнений модели массового пружинного демпфера.

Модель «масса-пружина-демпфер» состоит из дискретных узлов массы, распределенных по всему объекту и соединенных между собой сетью пружин и демпферов . Эта модель хорошо подходит для моделирования объектов со сложными свойствами материала, такими как нелинейность и вязкоупругость .Такие пакеты, как MATLAB, можно использовать для моделирования таких моделей. Помимо инженерного моделирования, эти системы находят применение в компьютерной графике и компьютерной анимации .

Деривация (одиночная масса)

Вывод уравнений движения для этой модели обычно выполняется путем суммирования сил, действующих на массу (включая любые приложенные внешние силы). $F_{\text{external}})$:

$\Sigma F=-kx-c{\dot {x}}+F_{\text{external}}=m{\ddot {x}}$

Переставив это уравнение, мы можем получить стандартную форму:

${\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=u$ где $\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}};\quad \zeta ={\frac {c}{2m\omega _{n}}};\quad u={\frac {F_{\text{external}}}{m}}$

$\omega _{n}$ - незатухающая собственная частота и $\zeta$ это коэффициент демпфирования . Однородное уравнение для системы массовых пружин:

${\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0$

Это имеет решение:

$x=Ae^{-\omega _{n}t\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}+Be^{-\omega _{n}t\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}$

Если $\zeta <1$ затем $\zeta ^{2}-1$ отрицательно, что означает, что квадратный корень будет отрицательным, и, следовательно, решение будет иметь колебательную составляющую.

См. также

• Численные методы
• Динамика мягкого тела # Весенние/массовые модели
• Конечно-элементный анализ