Метод максимального срока

Метод максимального срока является следствием больших чисел, встречающихся в статистической механике . В нем говорится, что при соответствующих условиях логарифм суммирования по существу равен логарифму максимального члена суммирования.

Эти условия заключаются в том (см. также доказательство ниже), что (1) количество членов в сумме велико и (2) сами члены масштабируются экспоненциально с этим числом. Типичным применением является расчет термодинамического потенциала по статистической сумме . Эти функции часто содержат термины с факториалами. $n!$ которые масштабируются как $n^{1/2}n^{n}/e^{n}$ ( приближение Стирлинга ).

Пример

$\lim _{M\rightarrow \infty }{\cfrac {\ln \left({\sum _{N=1}^{M}N!}\right)}{\ln {M!}}}=1\$

Доказательство

Рассмотрим сумму

$S=\sum _{N=1}^{M}T_{N}\$

где $T_{N}$ 0 для всех N. > Поскольку все члены положительны, значение S должно быть больше значения наибольшего члена, $T_{\max }$, и меньше, чем произведение количества термов и значения наибольшего терма. Итак, у нас есть

$T_{\max }\leq S\leq MT_{\max }.\$

Логарифмирование дает

$\ln T_{\max }\leq \ln S\leq \ln T_{\max }+\ln M.\$

Как это часто бывает в статистической механике, мы предполагаем, что $T_{\max }$ будет $O(\ln M!)=O(e^{M})$: см. Big O. обозначение

Здесь у нас есть

$O(M)\leq \ln S\leq O(M)+\ln M\qquad \Rightarrow 1\leq {\frac {\ln S}{O(M)}}\leq 1+{\frac {\ln M}{O(M)}}=1+o(1)$

Для М большого $\ln M$ пренебрежимо мал по отношению к самому M , и поэтому $\ln M/O(e^{M})\in o(1)$. Тогда мы видим, что ln S ограничена сверху и снизу величиной $\ln T_{\max }$, и так

${\frac {\ln S}{O(\ln T_{\max })}}=1\$

Ссылки

• Д.А. МакКуорри, Статистическая механика. Нью-Йорк: Харпер и Роу, 1976.
• Т.Л. Хилл, Введение в статистическую термодинамику. Нью-Йорк: Dover Publications, 1987.