Тестирование амплитудной чувствительности Фурье

Тестирование амплитудной чувствительности Фурье (FAST) основанный на дисперсии — это метод глобального анализа чувствительности, . Значение чувствительности определяется на основе условных отклонений , которые указывают на индивидуальное или совместное влияние неопределенных входных данных на выходные данные.

FAST сначала представляет условные отклонения через коэффициенты в несколько рядов Фурье разложения выходной функции . Затем эргодическая теорема применяется для преобразования многомерного интеграла в одномерный интеграл при вычислении коэффициентов Фурье. Для выполнения преобразования требуется набор несоизмеримых частот, и большинство частот иррациональны. Для облегчения вычислений вместо иррациональных частот выбирается набор целочисленных частот. Целочисленные частоты не являются строго несоизмеримыми, что приводит к ошибке между многомерным интегралом и преобразованным одномерным интегралом. Однако целочисленные частоты могут быть выбраны несоизмеримыми с любым порядком, чтобы можно было контролировать ошибку, удовлетворяя любым теоретическим требованиям точности. Используя целочисленные частоты в интегральном преобразовании, полученная функция в одномерном интеграле является периодической, и интеграл необходимо оценивать только за один период. Далее, поскольку непрерывная интегральная функция может быть восстановлена ​​из набора конечных точек выборки, если Теорема выборки Найквиста-Шеннона удовлетворена, одномерный интеграл вычисляется путем суммирования значений функции в сгенерированных точках выборки.

FAST более эффективен для расчета чувствительности, чем другие методы глобального анализа чувствительности на основе отклонений посредством интеграции Монте-Карло . Однако расчет с помощью FAST обычно ограничивается чувствительностью, называемой «основными эффектами» или «эффектами первого порядка», из-за вычислительной сложности расчета эффектов более высокого порядка.

История

Метод FAST зародился при изучении связанных систем химических реакций в 1973 году. а подробный анализ вычислительной ошибки был представлен позднее в 1975 году. В оригинальном методе рассчитывались только индексы чувствительности первого порядка, относящиеся к «основному эффекту». Компьютерная программа FORTRAN, способная анализировать системы алгебраических или дифференциальных уравнений, была опубликована в 1982 году. В 1990-х годах взаимосвязь между индексами чувствительности FAST и индексами Соболя, рассчитанными с помощью моделирования Монте-Карло, была обнаружена в общих рамках ANOVA -подобного разложения. и был разработан расширенный метод FAST, позволяющий рассчитывать индексы чувствительности, относящиеся к «общему эффекту».

Фундамент

Чувствительность на основе отклонений

Основная статья: Анализ чувствительности на основе отклонений

Индексы чувствительности дисперсионного метода рассчитываются посредством ANOVA-подобного разложения функции для анализа. Предположим, что функция $Y=f\left(\mathbf {X} \right)=f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)$ где $0\leq X_{j}\leq 1,j=1,\dots ,n$. Разложение типа ANOVA

$f\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=f_{0}+\sum _{j=1}^{n}f_{j}\left(X_{j}\right)+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}f_{jk}\left(X_{j},X_{k}\right)+\cdots +f_{12\dots n}$

при условии, что $f_{0}$ является константой, а интеграл от каждого члена суммы равен нулю, т.е.

$\int _{0}^{1}f_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\dots ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{k}}=0,{\text{ }}1\leq k\leq r.$

Условная дисперсия, характеризующая вклад каждого члена в общую дисперсию $f\left(\mathbf {X} \right)$ является

$V_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{2}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\dots ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{1}}dX_{j_{2}}\dots dX_{j_{r}}.$

Общая дисперсия представляет собой сумму всех условных дисперсий.

$V=\sum _{j=1}^{n}V_{j}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}V_{jk}+\cdots +V_{12\dots n}.$

Индекс чувствительности определяется как нормализованная условная дисперсия как

$S_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}={\frac {V_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}}{V}}$

особенно чувствительность первого порядка

$S_{j}={\frac {V_{j}}{V}}$

который указывает на основной эффект ввода $X_{j}$.

Множественный ряд Фурье

Один из способов расчета разложения типа ANOVA основан на использовании нескольких рядов Фурье. Функция $f\left(\mathbf {X} \right)$ в единичном гиперкубе можно расширить до кратно-периодической функции, а разложение в кратный ряд Фурье имеет вид

$f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{m_{n}=-\infty }^{\infty }C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\cdots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]},{\text{ for integers }}m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}$

где коэффициент Фурье

$C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\exp {\bigl [}-2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\dots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}.$

Разложение типа ANOVA

${\begin{aligned}f_{0}&=C_{00\dots 0}\\f_{j}&=\sum _{m_{j}\neq 0}C_{0\dots m_{j}\dots 0}\exp {\bigl [}2\pi im_{j}X_{j}{\bigr ]}\\f_{jk}&=\sum _{m_{j}\neq 0}\sum _{m_{k}\neq 0}C_{0\dots m_{j}\dots m_{k}\dots 0}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{j}X_{j}+m_{k}X_{k}\right){\bigr ]}\\f_{12\dots n}&=\sum _{m_{1}\neq 0}\sum _{m_{2}\neq 0}\cdots \sum _{m_{n}\neq 0}C_{m_{1}m_{2}\dots m_{n}}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\cdots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}.\end{aligned}}$

Условная дисперсия первого порядка равна

${\begin{aligned}V_{j}&=\int _{0}^{1}f_{j}^{2}\left(X_{j}\right)dX_{j}\\&=\sum _{m_{j}\neq 0}\left|C_{0\dots m_{j}\dots 0}\right|^{2}\\&=2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left(A_{m_{j}}^{2}+B_{m_{j}}^{2}\right)\end{aligned}}$

где $A_{m_{j}}$ и $B_{m_{j}}$ являются реальной и мнимой частью $C_{0\dots m_{j}\dots 0}$ соответственно

$A_{m_{j}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\cos \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}$

$B_{m_{j}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\sin \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}$

Эргодическая теорема

Для расчета коэффициентов Фурье необходимо оценить многомерный интеграл. Один из способов оценить этот многомерный интеграл — преобразовать его в одномерный интеграл, выражая каждый входной сигнал как функцию новой независимой переменной. $s$, следующее

$X_{j}\left(s\right)={\frac {1}{2\pi }}\left(\omega _{j}s{\text{ mod }}2\pi \right),j=1,2,\dots ,n$

где $\left\{\omega _{j}\right\}$ представляет собой набор несоизмеримых частот, т.е.

$\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}\omega _{j}=0$

для целочисленного набора $\left\{\gamma _{j}\right\}$ тогда и только тогда, когда $\gamma _{j}=0$ для каждого $j$.Тогда коэффициенты Фурье можно вычислить одномерным интегралом по эргодической теореме

$A_{m_{j}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos {\bigl (}2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds$

$B_{m_{j}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\sin {\bigl (}2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds$

Выполнение

Целочисленные частоты

Не более одной из несоизмеримых частот $\left\{\omega _{j}\right\}$ может быть рациональным, тогда как все остальные иррациональны. Поскольку числовое значение иррационального числа не может быть точно сохранено в компьютере, при реализации требуется аппроксимация несоизмеримых частот всеми рациональными числами. Без потери общности частоты можно задать целыми числами, а не любыми рациональными числами. Набор целых чисел $\left\{\omega _{j}\right\}$ примерно несоизмерима с порядком $M$ если

$\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}\omega _{j}\neq 0$

для

$\sum _{j=1}^{n}\left|\gamma _{j}\right|\leq M+1$

где $M$ является целым числом. Условие точной несоизмеримости представляет собой крайний случай, когда $M\to \infty$.

Используя целочисленные частоты, функция в преобразованном одномерном интеграле является периодической, поэтому только интегрирование за период $2\pi$ требуется. Коэффициенты Фурье можно приближенно рассчитать как

${\begin{aligned}A_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat {A}}_{m_{j}}\\B_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat {B}}_{m_{j}}\end{aligned}}$

Аппроксимация несоизмеримых частот для конечного $M$ приводит к ошибке несоответствия между истинными коэффициентами Фурье $A_{m_{j}}$, $B_{m_{j}}$ и их оценки ${\hat {A}}_{m_{j}}$, ${\hat {B}}_{m_{j}}$. Чем больше заказ $M$ чем меньше ошибка, но тем больше вычислительных усилий требуется для расчета оценок в следующей процедуре. На практике $M$ часто устанавливается равным 4, и доступна таблица результирующих наборов частот, которые имеют до 50 частот. (Макрей и др., 1982 г.)

Кривая поиска

Преобразование, $X_{j}\left(s\right)={\frac {1}{2\pi }}\left(\omega _{j}s{\text{ mod }}2\pi \right)$, определяет кривую поиска во входном пространстве. Если частоты, $\omega _{j},j=1,\dots ,n$, несоизмеримы, кривая поиска может проходить через каждую точку входного пространства как $s$ варьируется от 0 до $\infty$ поэтому многомерный интеграл по входному пространству можно точно преобразовать в одномерный интеграл по кривой поиска. Однако если частоты представляют собой приблизительно несоизмеримые целые числа, кривая поиска не может пройти через каждую точку входного пространства. В этом случае поиск повторяется, поскольку функция преобразования является периодической, с периодом $2\pi$. Одномерный интеграл можно оценить за один период вместо бесконечного интервала для несоизмеримых частот; Однако возникает вычислительная ошибка из-за аппроксимации несоизмеримости.

• Кривая поиска
• 
  Кривая поиска в случае ω ₁ =π и ω ₂ =7. Поскольку частоты несоизмеримы, кривая поиска не повторяется и может проходить через любую точку квадрата.
• 
  Кривая поиска в случае ω ₁ =3 и ω ₂ =7. Поскольку частоты являются целыми числами, которые примерно несоизмеримы, кривая поиска повторяется и не может пройти через каждую точку квадрата.
• 
  Кривая поиска в случае ω ₁ =11 и ω ₂ =7. Поскольку частоты являются целыми числами, которые примерно несоизмеримы, кривая поиска повторяется и не может пройти через каждую точку квадрата.

Выборка

Аппроксимированный Фурье может быть дополнительно выражен как

${\hat {A}}_{m_{j}}={\begin{cases}0&m_{j}{\text{ odd}}\\{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text{ even}}\end{cases}}$

и

${\hat {B}}_{m_{j}}={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text{ odd}}\\0&m_{j}{\text{ even}}\end{cases}}$

Ненулевые интегралы можно рассчитать по точкам отбора проб.

${\begin{aligned}{\hat {A}}_{m_{j}}&={\frac {1}{2q+1}}\sum _{k=-q}^{q}f{\bigl (}\mathbf {X} (s_{k}){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{ even}}\\{\hat {B}}_{m_{j}}&={\frac {1}{2q+1}}\sum _{k=-q}^{q}f{\bigl (}\mathbf {X} (s_{k}){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{ odd }}\end{aligned}}$

где единая точка отбора проб в $\left[-\pi /2,\pi /2\right]$ является

$s_{k}={\frac {\pi k}{2q+1}},k=-q,\dots ,-1,0,1,\dots ,q.$

Общее количество точек отбора проб составляет $2q+1$ который должен удовлетворять критерию выборки Найквиста, т.е.

$2q+1\geq N\omega _{max}+1$

где $\omega _{max}$ это самая большая частота в $\left\{\omega _{k}\right\}$ и $N$ – максимальный порядок рассчитанных коэффициентов Фурье.

Частичная сумма

После расчета оцененных коэффициентов Фурье условную дисперсию первого порядка можно аппроксимировать выражением

${\begin{aligned}V_{j}&=2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left(A_{m_{j}}^{2}+B_{m_{j}}^{2}\right)\\&\approx 2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left({\hat {A}}_{m_{j}}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j}}^{2}\right)\\&\approx 2\sum _{m_{j}=1}^{2}\left({\hat {A}}_{m_{j}}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j}}^{2}\right)\\&=2\left({\hat {A}}_{m_{j}=2}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j}=1}^{2}\right)\end{aligned}}$

где вычисляется только частичная сумма первых двух членов и $N=2$ для определения количества точек отбора проб. Использование частичной суммы обычно может дать достаточно хорошее приближение общей суммы, поскольку члены, соответствующие основной частоте и частотам низкого порядка, обычно вносят наибольший вклад в общую сумму. Кроме того, коэффициент Фурье при суммировании представляет собой всего лишь оценку истинного значения, и добавление большего количества членов более высокого порядка не поможет значительно повысить точность вычислений. Поскольку целые частоты не совсем несоизмеримы, есть два целых числа $m_{j}$ и $m_{k}$ такой, что $m_{j}\omega _{j}=m_{k}\omega _{k}.$ Помехи между двумя частотами могут возникнуть, если в суммирование включены члены более высокого порядка.

Аналогично, общая дисперсия $f\left(\mathbf {X} \right)$ можно рассчитать как

$V\approx {\hat {A}}_{0}\left[f^{2}\right]-{\hat {A}}_{0}\left[f\right]^{2}$

где ${\hat {A}}_{0}\left[f^{2}\right]$ обозначает оцененный коэффициент Фурье функции $f^{2}$ внутри скобки и ${\hat {A}}_{0}\left[f\right]^{2}$ - квадрат коэффициента Фурье функции $f$. Наконец, чувствительность, относящаяся к основному эффекту входных данных, можно рассчитать путем деления условной дисперсии на общую дисперсию.