Последовательность Рекамана

В математике и информатике . последовательность Рекамана — это хорошо известная последовательность , определяемая рекуррентным соотношением . Поскольку его элементы напрямую связаны с предыдущими элементами, они часто определяются с помощью рекурсии .

Рисунок первых 75 членов последовательности Рекамана в соответствии с методом визуализации, показанным в Numberphile видео «Слегка жуткая последовательность Рекамана».

Он получил свое название в честь своего изобретателя Бернардо Рекамана Сантоса , колумбийского математика.

Определение

Последовательность Рекамана $a_{0},a_{1},a_{2}\dots$ определяется как:

$a_{n}={\begin{cases}0&&{\text{if }}n=0\\a_{n-1}-n&&{\text{if }}a_{n-1}-n>0{\text{ and is not already in the sequence}}\\a_{n-1}+n&&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Первые члены последовательности:

0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45, 14, 46, 79, 113, 78, 114, 77, 39, 78, 38, 79, 37, 80, 36, 81, 35, 82, 34, 83, 33, 84, 32, 85, 31, 86, 30, 87, 29, 88, 28, 89, 27, 90, 26, 91, 157, 224, 156, 225, 155, ...

Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей (ОЭИС)

Последовательность Рекамана была названа в честь ее изобретателя, колумбийского математика Бернардо Рекамана Сантоса, Нилом Слоаном , создателем Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) . Запись OEIS для этой последовательности — A005132 .

Визуальное представление

Сюжет для первых 100 членов последовательности Рекамана.

Наиболее распространенная визуализация последовательности Рекамана — это просто отображение ее значений, как показано на рисунке справа.

14 января 2018 года Numberphile YouTube-канал опубликовал видео под названием The Slightly Spooky Recamán Sequence . показ визуализации с использованием чередующихся полукругов, как показано на рисунке вверху этой страницы.

Звуковое представление

Значения последовательности могут быть связаны с музыкальными нотами, в этом случае выполнение последовательности может быть связано с исполнением музыкальной мелодии.

Характеристики

Последовательность удовлетворяет:

$a_{n}\geq 0$

$|a_{n}-a_{n-1}|=n$

Это не перестановка целых чисел: первый повторяющийся член равен $42=a_{24}=a_{20}$. Еще один $43=a_{18}=a_{26}$.

Гипотеза

Нил Слоан предположил, что каждое число в конечном итоге появляется: но это не доказано. хотя 10 ²³⁰ сроки рассчитаны (в 2018 году), цифра 852 655 в списке не фигурирует.

Использование

Помимо своих математических и эстетических свойств, последовательность Рекамана может использоваться для защиты 2D-изображений с помощью стеганографии .

Альтернативная последовательность

Эта последовательность является самой известной последовательностью, изобретенной Рекаманом. Существует еще одна последовательность, менее известная, определяемая как:

$a_{1}=1$

$a_{n+1}={\begin{cases}a_{n}/n&&{\text{if }}n{\text{ divides }}a_{n}\\na_{n}&&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Эта запись OEIS — A008336 .

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A005132 (последовательность Рекамана)
• Немного жутковатый эпизод Рекамана. (14 июня 2018 г.) Numberphile на YouTube
• Сцена Рекамана в Rosetta Code