Расстояние Гауэра

В статистике , расстояние Гауэра между двумя объектами смешанного типа является мерой сходства которая может обрабатывать разные типы данных в одном наборе данных и особенно полезна в кластерном анализе или других многомерных статистических методах. Данные могут быть двоичными, порядковыми или непрерывными переменными. Он работает путем нормализации различий между каждой парой переменных и последующего вычисления средневзвешенного значения этих различий. Расстояние было определено в 1971 году Гауэром. ^{[ 1 ]} и он принимает значения от 0 до 1, причем меньшие значения указывают на большее сходство.

Определение

Для двух объектов $i$ и $j$ имея $p$ дескрипторы, сходство $S$ определяется как: $S_{ij}={\frac {\sum _{k=1}^{p}w_{ijk}s_{ijk}}{\sum _{k=1}^{p}w_{ijk}}},$

где $w_{ijk}$ неотрицательные веса обычно устанавливаются равными $1$ ^{[ 2 ]} и $s_{ijk}$ это сходство между двумя объектами относительно их $k$ -я переменная. Если переменная является двоичной или порядковой, значения $s_{ijk}$ равны 0 или 1, где 1 означает равенство. Если переменная непрерывна, $s_{ijk}=1-{\frac {|x_{i}-x_{j}|}{R_{k}}}$ с $R_{k}$ являющийся диапазоном $k$ -th переменная и, таким образом, гарантируя $0\leq s_{ijk}\leq 1$ . В результате общее сходство $S_{ij}$ между двумя объектами — это средневзвешенное значение сходства рассчитаны для всех их дескрипторов. ^{[ 3 ]}

В своем первоначальном изложении расстояние не рассматривает порядковые переменные особым образом. В 1990-е годы впервые Кауфман и Руссеу ^{[ 4 ]} и позже Подани ^{[ 5 ]} предлагаемые расширения, в которых используется порядок порядковых номеров. Например, Подани получает относительные различия в рангах как $s_{ijk}=1-{\frac {|r_{i}-r_{j}|}{\max {\{r\}}-\min {\{r\}}}}$ с $r$ являются рангами, соответствующими упорядоченным категориям $k$ -я переменная.

Реализации программного обеспечения

Многие языки программирования и статистические пакеты, такие как R , Python и т. д., включают реализации расстояния Гауэра.

Язык/программа	Функция	Ссылка.
Р	`StatMatch::gower.dist(X)`	[1]
Питон	`gower.gower_matrix(X)`	[2]

Ссылки

^ Гауэр, Джон С. (1971). «Общий коэффициент подобия и некоторые его свойства» . Биометрия . 27 (4): 857–871. дои : 10.2307/2528823 . JSTOR 2528823 . Проверено 3 июня 2024 г.
^ Борг, Ингвер; Гроенен, Патрик Дж. Ф. (2005). Современное многомерное масштабирование: теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк [Гейдельберг]: Спрингер. стр. 124–125. ISBN 978-0387-25150-9 .
^ Лежандр, Пьер; Лежандр, Луи (2012). Численная экология (Третье английское изд.). Амстердам: Эльзевир. стр. 278–280. ISBN 978-0-444-53868-0 .
^ Кауфман, Леонард; Руссиу, Питер Дж. (1990). Поиск групп в данных: введение в кластерный анализ . Нью-Йорк: Уайли. стр. 35–36. ISBN 9780471878766 .
^ Подани, Янош (май 1999 г.). «Расширение общего коэффициента сходства Гауэра на порядковые символы». Таксон . 48 (2): 331–340. дои : 10.2307/1224438 . JSTOR 1224438 .

[1] Гауэр, Джон С. (1971). «Общий коэффициент подобия и некоторые его свойства» . Биометрия . 27 (4): 857–871. дои : 10.2307/2528823 . JSTOR 2528823 . Проверено 3 июня 2024 г.

[2] Борг, Ингвер; Гроенен, Патрик Дж. Ф. (2005). Современное многомерное масштабирование: теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк [Гейдельберг]: Спрингер. стр. 124–125. ISBN 978-0387-25150-9 .

[3] Лежандр, Пьер; Лежандр, Луи (2012). Численная экология (Третье английское изд.). Амстердам: Эльзевир. стр. 278–280. ISBN 978-0-444-53868-0 .

[4] Кауфман, Леонард; Руссиу, Питер Дж. (1990). Поиск групп в данных: введение в кластерный анализ . Нью-Йорк: Уайли. стр. 35–36. ISBN 9780471878766 .

[5] Подани, Янош (май 1999 г.). «Расширение общего коэффициента сходства Гауэра на порядковые символы». Таксон . 48 (2): 331–340. дои : 10.2307/1224438 . JSTOR 1224438 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]