Логарифмическая свертка

В математике масштабная свертка двух функций $s(t)$ и $r(t)$, также известная как их логарифмическая свертка , определяется как функция

$s*_{l}r(t)=r*_{l}s(t)=\int _{0}^{\infty }s\left({\frac {t}{a}}\right)r(a)\,{\frac {da}{a}}$

когда это количество существует.

Результаты

Логарифмическую свертку можно связать с обычной сверткой , изменив переменную с $t$ к $v=\log t$:

${\begin{aligned}s*_{l}r(t)&=\int _{0}^{\infty }s\left({\frac {t}{a}}\right)r(a)\,{\frac {da}{a}}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }s\left({\frac {t}{e^{u}}}\right)r(e^{u})\,du\\&=\int _{-\infty }^{\infty }s\left(e^{\log t-u}\right)r(e^{u})\,du.\end{aligned}}$

Определять $f(v)=s(e^{v})$ и $g(v)=r(e^{v})$ и пусть $v=\log t$, затем

$s*_{l}r(v)=f*g(v)=g*f(v)=r*_{l}s(v).$

Эта статья включает в себя материал из логарифмической свертки на платформе PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .