Функции напряжения

В линейной упругости уравнения, описывающие деформацию упругого тела, подверженного только поверхностным силам (или объемным силам, которые могут быть выражены как потенциалы) на границе, представляют собой (используя индексное обозначение ) уравнение равновесия:

$\sigma _{ij,i}=0\,$

где $\sigma$ – тензор напряжений и уравнения совместимости Бельтрами-Мичелла:

$\sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}=0$

Общее решение этих уравнений может быть выражено через тензор напряжений Бельтрами . Функции напряжений выводятся как частные случаи тензора напряжений Бельтрами, который, хотя и менее общий, иногда дает более удобный метод решения уравнений упругости.

Функции стресса Бельтрами

Это можно показать что полное решение уравнений равновесия можно записать в виде

$\sigma =\nabla \times \Phi \times \nabla$

Использование индексной записи:

$\sigma _{ij}=\varepsilon _{ikm}\varepsilon _{jln}\Phi _{kl,mn}$

showИнженерные обозначения
$\sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\Phi _{yy}}{\partial z\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zz}}{\partial y\partial y}}-2{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yz}}{\partial y\partial z}}$		$\sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xy}}{\partial z\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zz}}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yz}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zx}}{\partial y\partial z}}$
$\sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\Phi _{xx}}{\partial z\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zz}}{\partial x\partial x}}-2{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zx}}{\partial z\partial x}}$		$\sigma _{yz}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yz}}{\partial x\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xx}}{\partial y\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zx}}{\partial y\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xy}}{\partial z\partial x}}$
$\sigma _{z}={\frac {\partial ^{2}\Phi _{yy}}{\partial x\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xx}}{\partial y\partial y}}-2{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xy}}{\partial x\partial y}}$		$\sigma _{zx}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zx}}{\partial y\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yy}}{\partial z\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xy}}{\partial z\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yz}}{\partial x\partial y}}$

где $\Phi _{mn}$ — произвольное тензорное поле второго ранга, которое по крайней мере дважды дифференцируемо и известно как тензор напряжений Бельтрами . Ее компоненты известны как функции напряжения Бельтрами . $\varepsilon$ — псевдотензор Леви-Чивита , все значения которого равны нулю, кроме тех, в которых индексы не повторяются. Для набора неповторяющихся индексов значение компонента будет +1 для четных перестановок индексов и -1 для нечетных перестановок. И $\nabla$ является оператором Набла . Чтобы тензор напряжений Бельтрами удовлетворял уравнениям совместимости Бельтрами-Мичелла в дополнение к уравнениям равновесия, дополнительно требуется, чтобы $\Phi _{mn}$ не менее четырех раз непрерывно дифференцируема.

Функции напряжения Максвелла

Функции напряжений Максвелла определяются в предположении, что тензор напряжений Бельтрами $\Phi _{mn}$ ограничен формой.

$\Phi _{ij}={\begin{bmatrix}A&0&0\\0&B&0\\0&0&C\end{bmatrix}}$

Тензор напряжений, который автоматически подчиняется уравнению равновесия, теперь можно записать как:

$\sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}B}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial y^{2}}}$		$\sigma _{yz}=-{\frac {\partial ^{2}A}{\partial y\partial z}}$
$\sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}$		$\sigma _{zx}=-{\frac {\partial ^{2}B}{\partial z\partial x}}$
$\sigma _{z}={\frac {\partial ^{2}A}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial x^{2}}}$		$\sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}C}{\partial x\partial y}}$

Решение проблемы упругости теперь состоит в нахождении трех функций напряжения, которые дают тензор напряжений, подчиняющийся уравнениям совместимости Бельтрами – Мичелла для напряжений. Подстановка выражений для напряжения в уравнения Бельтрами – Мичелла дает выражение упругой задачи через функции напряжения:

$\nabla ^{4}A+\nabla ^{4}B+\nabla ^{4}C=3\left({\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}\right)/(2-\nu ),$

Они также должны дать тензор напряжений, который подчиняется указанным граничным условиям.

Функция стресса Эйри

Функция напряжения Эйри является частным случаем функции напряжения Максвелла, в которой предполагается, что A=B=0, а C является функцией только x и y. Поэтому эту функцию напряжения можно использовать только для двумерных задач. В литературе по упругости функция напряжения $C$ обычно представлен $\varphi$ и напряжения выражаются как

$\sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}~;~~\sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}~;~~\sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}-(f_{x}y+f_{y}x)$

Где $f_{x}$ и $f_{y}$ – значения массовых сил в соответствующем направлении.

В полярных координатах выражения имеют вид:

$\sigma _{rr}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial r^{2}}}~;~~\sigma _{r\theta }=\sigma _{\theta r}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \theta }}\right)$

Стрессовые функции Мореры

Функции напряжений Мореры определяются в предположении, что тензор напряжений Бельтрами $\Phi _{mn}$ тензор ограничен формой

$\Phi _{ij}={\begin{bmatrix}0&C&B\\C&0&A\\B&A&0\end{bmatrix}}$

Решение проблемы упругости теперь состоит в нахождении трех функций напряжения, которые дают тензор напряжений, подчиняющийся уравнениям совместимости Бельтрами-Мичелла. Подстановка выражений для напряжения в уравнения Бельтрами-Мичелла дает выражение упругой задачи через функции напряжения:

$\sigma _{x}=-2{\frac {\partial ^{2}A}{\partial y\partial z}}$		$\sigma _{yz}=-{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z\partial x}}$
$\sigma _{y}=-2{\frac {\partial ^{2}B}{\partial z\partial x}}$		$\sigma _{zx}=-{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x\partial y}}$
$\sigma _{z}=-2{\frac {\partial ^{2}C}{\partial x\partial y}}$		$\sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y\partial z}}$

Функция напряжения Прандтля

Функция напряжения Прандтля представляет собой частный случай функции напряжения Мореры, в которой предполагается, что A=B=0, а C является функцией только x и y.

См. также

• Эластичность (физика)
• Модуль упругости
• Теория бесконечно малых деформаций
• Линейная эластичность
• Твердая механика
• Стресс (механика)

Ссылки

• Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность - Теория, приложения и цифры . Нью-Йорк: Эльзевир Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  0-12-605811-3 . OCLC   162576656 .
• Нопс, Р.Дж. (1958). «Об изменении коэффициента Пуассона при решении задач упругости». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 11 (3). Издательство Оксфордского университета: 326–350. дои : 10.1093/qjmam/11.3.326 .