Последовательность делимости

В математике последовательность делимости — это целочисленная последовательность. $(a_{n})$ индексируется положительными целыми числами n такими, что

{\text{if }}m\mid n{\text{ then }}a_{m}\mid a_{n}

для всех m , n . То есть, когда один индекс кратен другому, соответствующий термин также кратен другому термину. Эту концепцию можно обобщить на последовательности со значениями в любом кольце понятие делимости , где определено .

Последовательность сильной делимости — это целочисленная последовательность $(a_{n})$ такой, что для всех натуральных чисел m , n ,

\gcd(a_{m},a_{n})=a_{\gcd(m,n)}.

Любая последовательность сильной делимости является последовательностью делимости: $\gcd(m,n)=m$ тогда и только тогда, когда $m\mid n$ . Следовательно, по свойству сильной делимости $\gcd(a_{m},a_{n})=a_{m}$ и поэтому $a_{m}\mid a_{n}$ .

Примеры

Любая постоянная последовательность является последовательностью сильной делимости.
Каждая последовательность формы $a_{n}=kn,$ для некоторого ненулевого целого числа k является последовательностью делимости.
Числа формы $2^{n}-1$ ( Числа Мерсенна ) образуют последовательность сильной делимости.
Числа повторения в любом основании $R n (б)$ образуют сильную последовательность делимости.
В более общем смысле, любая последовательность вида $a_{n}=A^{n}-B^{n}$ для целых чисел $A>B>0$ является последовательностью делимости. Фактически, если $A$ и $B$ взаимно просты, то это последовательность сильной делимости.
Числа Фибоначчи $F n$ образуют последовательность сильной делимости.
В более общем смысле, любая последовательность Люка первого рода $Un является последовательностью (P, Q)$ делимости. Более того, это последовательность сильной делимости, когда $gcd(P, Q) = 1$ .
Последовательности эллиптической делимости представляют собой еще один класс таких последовательностей.

Ссылки

Эверест, Грэм; ван дер Портен, Альф; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3387-2 .
Холл, Маршалл (1936). «Последовательности делимости третьего порядка». Являюсь. Дж. Математика . 58 (3): 577–584. дои : 10.2307/2370976 . JSTOR 2370976 .
Уорд, Морган (1939). «Заметка о последовательностях делимости» . Бык. амер. Математика. Соц . 45 (4): 334–336. дои : 10.1090/s0002-9904-1939-06980-2 .
Хоггатт-младший, Вирджиния; Лонг, Коннектикут (1973). «Свойства делимости обобщенных полиномов Фибоначчи» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи : 113.
Безивен, Ж.-П.; Пето, А.; ван дер Портен, Эй Джей (1990). «Полная характеристика последовательностей делимости». Являюсь. Дж. Математика . 112 (6): 985–1001. дои : 10.2307/2374733 . JSTOR 2374733 .
П. Ингрэм; Дж. Х. Сильверман (2012), «Примитивные делители в последовательностях эллиптической делимости», у Дориана Голдфельда; Джей Йоргенсон; Питер Джонс; Динакар Рамакришнан; Кеннет А. Рибет; Джон Тейт (ред.), Теория чисел, анализ и геометрия. Памяти Сержа Ланга , Springer, стр. 243–271, ISBN. 978-1-4614-1259-5