Спектральный индекс

В астрономии спектральный индекс источника — это мера зависимости плотности потока излучения (то есть потока излучения на единицу частоты) от частоты . Данная частота $\nu$ в Гц и потока излучения плотности $S_{\nu }$ в Ян, спектральный индекс $\alpha$ задается неявно $$S_{\nu }\propto \nu ^{\alpha }.$$Обратите внимание: если поток не подчиняется степенному закону частоты, спектральный индекс сам по себе является функцией частоты. Переставляя вышеизложенное, мы видим, что спектральный индекс определяется выражением $$\alpha \!\left(\nu \right)={\frac {\partial \log S_{\nu }\!\left(\nu \right)}{\partial \log \nu }}.$$

Очевидно, что степенной закон может применяться только в определенном диапазоне частот, поскольку в противном случае интеграл по всем частотам был бы бесконечным.

Спектральный индекс также иногда определяют через длину волны. $\lambda$. В этом случае спектральный индекс $\alpha$ задается неявно $$S_{\lambda }\propto \lambda ^{\alpha },$$и на данной частоте спектральный индекс можно рассчитать, взяв производную $$\alpha \!\left(\lambda \right)={\frac {\partial \log S_{\lambda }\!\left(\lambda \right)}{\partial \log \lambda }}.$$Спектральный индекс с использованием $S_{\nu }$, который мы можем назвать $\alpha _{\nu },$ отличается от индекса $\alpha _{\lambda }$ определяется с помощью $S_{\lambda }.$ Общий поток между двумя частотами или длинами волн равен $$S=C_{1}\left(\nu _{2}^{\alpha _{\nu }+1}-\nu _{1}^{\alpha _{\nu }+1}\right)=C_{2}\left(\lambda _{2}^{\alpha _{\lambda }+1}-\lambda _{1}^{\alpha _{\lambda }+1}\right)=c^{\alpha _{\lambda }+1}C_{2}\left(\nu _{2}^{-\alpha _{\lambda }-1}-\nu _{1}^{-\alpha _{\lambda }-1}\right)$$что подразумевает, что $$\alpha _{\lambda }=-\alpha _{\nu }-2.$$Иногда используется противоположное соглашение о знаках: в котором спектральный индекс определяется выражением $$S_{\nu }\propto \nu ^{-\alpha }.$$

Спектральный индекс источника может указывать на его свойства. Например, используя соглашение о положительных знаках, спектральный индекс излучения оптически тонкой тепловой плазмы равен -0,1, тогда как для оптически толстой плазмы он равен 2. Следовательно, спектральный индекс от -0,1 до 2 на радиочастотах часто указывает на тепловое излучение , тогда как крутой отрицательный спектральный индекс обычно указывает на синхротронное излучение . Стоит отметить, что на наблюдаемое излучение могут влиять несколько процессов поглощения, которые больше всего влияют на низкочастотное излучение; уменьшение наблюдаемого излучения на низких частотах может привести к положительному спектральному индексу, даже если собственное излучение имеет отрицательный индекс. Поэтому связать положительные спектральные индексы с тепловым излучением непросто.

Спектральный индекс теплового излучения

На радиочастотах (т.е. в низкочастотном длинноволновом пределе), где закон Рэлея-Джинса является хорошим приближением к спектру теплового излучения , интенсивность определяется выражением $$B_{\nu }(T)\simeq {\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}.$$Логарифмируя каждую сторону и беря частную производную по $\log \,\nu$ урожайность $${\frac {\partial \log B_{\nu }(T)}{\partial \log \nu }}\simeq 2.$$Таким образом, используя соглашение о положительных знаках, спектральный индекс теплового излучения равен $\alpha \simeq 2$ в режиме Рэлея-Джинса. Спектральный индекс отклоняется от этого значения на более коротких длинах волн, для которых закон Рэлея-Джинса становится все более неточным приближением, стремясь к нулю, когда интенсивность достигает пика на частоте, заданной законом смещения Вина . Из-за простой зависимости потока излучения от температуры в режиме Рэлея–Джинса радиоспектральный индекс определяется в неявном виде: $$S\propto \nu ^{\alpha }T.$$