Метод элементарных эффектов

Опубликовано в 1991 году Максом Моррисом. ^{[ 1 ]} метод элементарных эффектов (ЭЭ) ^{[ 2 ]} является одним из наиболее используемых ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} методы скрининга при анализе чувствительности .

EE применяется для определения невлияющих входных данных для дорогостоящей в вычислительном отношении математической модели или для модели с большим количеством входных данных, где затраты на оценку других мер анализа чувствительности, таких как меры, основанные на дисперсии, недоступны. Как и любой скрининг, метод ЭЭ обеспечивает количественный анализ чувствительности, т.е. меры, которые позволяют идентифицировать невлиятельные входные данные или которые позволяют ранжировать входные факторы в порядке важности, но не дают точной количественной оценки относительной важности входных данных.

Методология

В качестве примера метода ЭЭ предположим, что рассмотрим математическую модель с $k$ входные факторы. Позволять $Y$ быть интересующим результатом (скаляр для простоты):

Y=f(X_{1},X_{2},...X_{k}).

Оригинальный метод ЭЭ Морриса ^{[ 2 ]} предоставляет две меры чувствительности для каждого входного фактора:

мера $\mu$ , оценивая общую важность входного фактора для выходных данных модели;
мера $\sigma$ , описывающая нелинейные эффекты и взаимодействия.

Эти две меры получены с помощью конструкции, основанной на построении серии траекторий в пространстве входных данных, где входные данные перемещаются случайным образом по одному (OAT). В этой схеме предполагается, что входные данные каждой модели различаются в зависимости от модели. $p$ выбранные уровни в пространстве входных факторов. Регион экспериментов $\Omega$ таким образом, является $k$ -мерный $p$ -уровневая сетка.

Каждая траектория состоит из $(k+1)$ очков, поскольку входные факторы перемещаются один за другим на шаг $\Delta$ в $\{0,1/(p-1),2/(p-1),...,1\}$ в то время как все остальные остаются фиксированными.

Вдоль каждой траектории так называемый элементарный эффект для каждого входного фактора определяется как:

d_{i}(X)={\frac {Y(X_{1},\ldots ,X_{i-1},X_{i}+\Delta ,X_{i+1},\ldots ,X_{k})-Y(\mathbf {X} )}{\Delta }}

,

где $\mathbf {X} =(X_{1},X_{2},...X_{k})$ любое выбранное значение в $\Omega$ так, что преобразованная точка все еще находится в $\Omega$ для каждого индекса $i=1,\ldots ,k.$

$r$ элементарные эффекты оцениваются для каждого входа $d_{i}\left(X^{(1)}\right),d_{i}\left(X^{(2)}\right),\ldots ,d_{i}\left(X^{(r)}\right)$ путем случайной выборки $r$ очки $X^{(1)},X^{(2)},\ldots ,X^{(r)}$ .

Обычно $r$ ~ 4-10, в зависимости от количества входных факторов, от вычислительной стоимости модели и от выбора количества уровней $p$ , поскольку для получения исследовательской выборки большое количество исследуемых уровней должно быть сбалансировано большим количеством траекторий. Показано, что удобный выбор параметров $p$ и $\Delta$ является $p$ даже и $\Delta$ равный $p/[2(p-1)]$ , поскольку это обеспечивает равную вероятность выборки во входном пространстве.

В случае, если входные факторы распределены неравномерно, наилучшей практикой является выборка в пространстве квантилей и получение входных значений с использованием обратных кумулятивных функций распределения. Обратите внимание, что в этом случае $\Delta$ равен шагу, сделанному входными данными в пространстве квантилей.

Две меры $\mu$ и $\sigma$ определяются как среднее значение и стандартное отклонение распределения элементарных эффектов каждого входа:

\mu _{i}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}d_{i}\left(X^{(j)}\right)

,

\sigma _{i}={\sqrt {{\frac {1}{(r-1)}}\sum _{j=1}^{r}\left(d_{i}\left(X^{(j)}\right)-\mu _{i}\right)^{2}}}

.

Эти два показателя необходимо рассматривать вместе (например, на двумерном графике), чтобы ранжировать входные факторы в порядке важности и идентифицировать те входные данные, которые не влияют на изменчивость выпуска. Низкие значения обоих $\mu$ и $\sigma$ соответствуют невлияющему входу.

Улучшение этого метода было разработано Камполонго и др. ^{[ 7 ]} который предложил пересмотренную меру $\mu ^{*}$ , что само по себе достаточно для обеспечения надежного ранжирования входных факторов. Пересмотренная мера представляет собой среднее значение распределения абсолютных значений элементарных эффектов входных факторов:

\mu _{i}^{*}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}\left|d_{i}\left(X^{(j)}\right)\right|

.

Использование $\mu ^{*}$ решает проблему эффектов противоположных знаков, которая возникает, когда модель немонотонна и которые могут компенсировать друг друга, что приводит к низкому значению для $\mu$ .

Эффективная техническая схема построения траекторий, используемых в методе EE, представлена в оригинальной статье Морриса, а стратегия улучшения, направленная на лучшее исследование входного пространства, предложена Камполонго и др..

Ссылки

^ https://www.stat.iastate.edu/people/max-morris Домашняя страница Макса Д. Морриса из Университета штата Айова.
^ Jump up to: ^а ^б Моррис, доктор медицины (1991). Планы факторной выборки для предварительных вычислительных экспериментов. Технометрика , 33 , 161–174.
^ Боргоново, Эмануэле и Эльмар Плишке. 2016. «Анализ чувствительности: обзор последних достижений». Европейский журнал операционных исследований 248 (3): 869–87. https://doi.org/10.1016/J.EJOR.2015.06.032 .
^ Иосс, Бертран и Поль Леметр. 2015. «Обзор методов анализа глобальной чувствительности». В «Управлении неопределенностью при моделировании-оптимизации сложных систем» под редакцией Дж. Деллино и К. Мелони, 101–22. Бостон, Массачусетс: Спрингер, Бостон, Массачусетс. https://doi.org/10.1007/978-1-4899-7547-8_5 .
^ Нортон, JP 2015. «Введение в оценку чувствительности имитационных моделей». Моделирование окружающей среды и программное обеспечение 69 (C): 166–74. https://doi.org/10.1016/j.envsoft.2015.03.020 .
^ Вэй, Пэнфэй, Чжэньчжоу Лу и Цзинвэнь Сун. 2015. «Анализ важности переменных: комплексный обзор». Инженерия надежности и системная безопасность 142: 399–432. https://doi.org/10.1016/j.ress.2015.05.018 .
^ Камполонго, Ф., Дж. Карибони и А. Сальтелли (2007). Эффективная схема скрининга для анализа чувствительности больших моделей. Экологическое моделирование и программное обеспечение , 22 , 1509–1518.

[1] ttps://www.stat.iastate.edu/people/max-morris Домашняя страница Макса Д. Морриса из Университета штата Айова.

[Morris-2] Jump up to: ^а ^б Моррис, доктор медицины (1991). Планы факторной выборки для предварительных вычислительных экспериментов. Технометрика , 33 , 161–174.

[3] Боргоново, Эмануэле и Эльмар Плишке. 2016. «Анализ чувствительности: обзор последних достижений». Европейский журнал операционных исследований 248 (3): 869–87. https://doi.org/10.1016/J.EJOR.2015.06.032 .

[4] Иосс, Бертран и Поль Леметр. 2015. «Обзор методов анализа глобальной чувствительности». В «Управлении неопределенностью при моделировании-оптимизации сложных систем» под редакцией Дж. Деллино и К. Мелони, 101–22. Бостон, Массачусетс: Спрингер, Бостон, Массачусетс. https://doi.org/10.1007/978-1-4899-7547-8_5 .

[5] Нортон, JP 2015. «Введение в оценку чувствительности имитационных моделей». Моделирование окружающей среды и программное обеспечение 69 (C): 166–74. https://doi.org/10.1016/j.envsoft.2015.03.020 .

[6] Вэй, Пэнфэй, Чжэньчжоу Лу и Цзинвэнь Сун. 2015. «Анализ важности переменных: комплексный обзор». Инженерия надежности и системная безопасность 142: 399–432. https://doi.org/10.1016/j.ress.2015.05.018 .

[7] Камполонго, Ф., Дж. Карибони и А. Сальтелли (2007). Эффективная схема скрининга для анализа чувствительности больших моделей. Экологическое моделирование и программное обеспечение , 22 , 1509–1518.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]