Уравнения Кирхгофа

О других законах, названных в честь Густава Кирхгофа, см. Законы Кирхгофа .

В гидродинамике , уравнения Кирхгофа названные в честь Густава Кирхгофа , описывают движение твердого тела в идеальной жидкости .

$${\begin{aligned}{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}}+{\vec {Q}}_{h}+{\vec {Q}},\\[10pt]{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }}+{\vec {F}}_{h}+{\vec {F}},\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\vec {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\vec {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]{\vec {Q}}_{h}&=-\int p{\vec {x}}\times {\hat {n}}\,d\sigma ,\\[10pt]{\vec {F}}_{h}&=-\int p{\hat {n}}\,d\sigma \end{aligned}}$$

где ${\vec {\omega }}$ и ${\vec {v}}$ – векторы угловой и линейной скорости в точке ${\vec {x}}$, соответственно; ${\tilde {I}}$ – тензор момента инерции, $m$ – масса тела; ${\hat {n}}$ являетсяединица нормали к поверхности тела в точке ${\vec {x}}$; $p$ давление в этой точке; ${\vec {Q}}_{h}$ и ${\vec {F}}_{h}$ являются гидродинамическимикрутящий момент и сила, действующие на тело соответственно; ${\vec {Q}}$ и ${\vec {F}}$ аналогично обозначают все остальные моменты и силы, действующие натело. Интегрирование выполняется по части, подверженной воздействию жидкости.поверхность тела.

Если тело представляет собой полностью погруженное тело в бесконечно большой объем безвихревой, несжимаемой, невязкой жидкости, то есть покоящееся на бесконечности, то векторы ${\vec {Q}}_{h}$ и ${\vec {F}}_{h}$ находится путем явного интегрирования, а динамика тела описывается уравнениями Кирхгофа – Клебша :

$${d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}},\quad {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }},$$

$$L({\vec {\omega }},{\vec {v}})={1 \over 2}(A{\vec {\omega }},{\vec {\omega }})+(B{\vec {\omega }},{\vec {v}})+{1 \over 2}(C{\vec {v}},{\vec {v}})+({\vec {k}},{\vec {\omega }})+({\vec {l}},{\vec {v}}).$$

Их первые интегралы читались $$J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{\vec {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{\vec {v}}\right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right).$$

Дальнейшее интегрирование дает явные выражения для положения и скорости.

Ссылки

• Кирхгоф Г.Р. читает лекции по математической физике, механике . Лекция 19. Лейпциг: Тойбнер. 1877.
• Ламб Х. Гидродинамика . Шестое издание Кембридж (Великобритания): Издательство Кембриджского университета. 1932 год.