Функция навигации

Функция навигации обычно относится к функции положения, скорости, ускорения и времени, которая используется для планирования траекторий движения робота в окружающей среде. Как правило, цель функции навигации — создать возможные безопасные пути, которые позволяют избежать препятствий, позволяя роботу переходить от начальной конфигурации к целевой конфигурации.

Потенциальные функции в качестве функций навигации

Потенциальная функция. Представьте, что вы уронили шарик на поверхность. Он обойдет три препятствия и в конечном итоге достигнет целевой позиции в центре.

Потенциальные функции предполагают, что известна среда или рабочее пространство. Препятствиям присваивается высокое потенциальное значение, а позиции цели — низкий потенциал. Чтобы достичь целевой позиции, роботу нужно всего лишь следовать отрицательному градиенту поверхности.

Мы можем формализовать это понятие математически следующим образом: Пусть $X$ быть пространством состояний всех возможных конфигураций робота. Позволять $X_{g}\subset X$ обозначают целевую область пространства состояний.

Тогда потенциальная функция $\phi (x)$ называется (допустимой) навигационной функцией, если

1. $\phi (x)=0\ \forall x\in X_{g}$
2. $\phi (x)=\infty$ тогда и только тогда, когда нет смысла ${X_{g}}$ доступен из $x$.
3. Для каждого достижимого состояния $x\in X\setminus {X_{g}}$, локальный оператор создает состояние $x'$ для чего $\phi (x')<\phi (x)$.

Вероятностная навигационная функция

Вероятностная функция навигации является расширением классической функции навигации для статических стохастических сценариев. Функция определяется разрешенной вероятностью столкновения, которая ограничивает риск во время движения. Сумма Минковского, используемая в классическом определении, заменяется сверткой геометрий и функций плотности вероятности местоположений. Обозначая целевую позицию $x_{d}$, вероятностная навигационная функция определяется как: ${\varphi }(x)={\frac {\gamma _{d}(x)}{{\left[{\gamma _{d}^{K}(x)+\beta \left(x\right)}\right]}^{\frac {1}{K}}}}$где $K$ — это предопределенная константа, как и в классической функции навигации, что обеспечивает азбуку Морса для функции. $\gamma _{d}(x)$ расстояние до целевой позиции ${||x-{x_{d}}|{|^{2}}}$, и $\beta \left(x\right)$ учитывает все препятствия, определяемые как $\beta \left(x\right)=\prod \limits _{i=0}^{N_{o}}{{\beta _{i}}\left(x\right)}$где $\beta _{i}(x)$ основан на вероятности столкновения в месте $x$. Вероятность столкновения ограничена заранее заданной величиной. $\Delta$, значение: $\beta _{i}(x)=\Delta -p^{i}\left(x\right)$и, $\beta _{0}(x)=-\Delta +p^{0}\left(x\right)$

где $p^{i}(x)$ — вероятность столкнуться с i-м препятствием. Карта $\varphi$ называется вероятностной навигационной функцией, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Это функция навигации.
2. Вероятность столкновения ограничена заранее определенной вероятностью. $\Delta$.

Функция навигации в оптимальном управлении

Хотя для некоторых приложений достаточно иметь осуществимую навигационную функцию, во многих случаях желательно иметь оптимальную навигационную функцию относительно заданного функционала стоимости. $J$. Формализуя задачу оптимального управления , можно записать

${\text{minimize }}J(x_{1:T},u_{1:T})=\int \limits _{T}L(x_{t},u_{t},t)dt$

${\text{subject to }}{\dot {x_{t}}}=f(x_{t},u_{t})$

посредством чего $x$ это государство, $u$ нужно ли применять элемент управления, $L$ это стоимость в определенном состоянии $x$ если мы применим контроль $u$, и $f$ моделирует динамику перехода системы.

Применяя принцип оптимальности Беллмана, оптимальная функция себестоимости определяется как

$\displaystyle \phi (x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{}L(x_{t},u_{t})+\phi (f(x_{t},u_{t})){\Big \}}$

Вместе с определенными выше аксиомами мы можем определить оптимальную навигационную функцию как

1. $\phi (x)=0\ \forall x\in X_{g}$
2. $\phi (x)=\infty$ тогда и только тогда, когда нет смысла ${X_{G}}$ доступен из $x$.
3. Для каждого достижимого состояния $x\in X\setminus {X_{G}}$, локальный оператор создает состояние $x'$ для чего $\phi (x')<\phi (x)$.
4. $\displaystyle \phi (x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{}L(x_{t},u_{t})+\phi (f(x_{t},u_{t})){\Big \}}$

Даже если функция навигации является примером реактивного управления, ее можно использовать и для задач оптимального управления, включая возможности планирования.

Стохастическая навигационная функция

Если мы предположим, что динамика перехода системы или функция стоимости подвержены воздействию шума, мы получим стохастическую задачу оптимального управления со стоимостью $J(x_{t},u_{t})$ и динамика $f$. В области обучения с подкреплением стоимость заменяется функцией вознаграждения. $R(x_{t},u_{t})$ а динамика по вероятностям перехода $P(x_{t+1}|x_{t},u_{t})$.

См. также

• Теория управления
• Оптимальное управление
• Управление роботом
• Планирование движения
• Обучение с подкреплением

Ссылки

Источники

• ЛаВалль, Стивен М. (2006), Алгоритмы планирования (первое издание), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-86205-9
• Ломонд, Жан-Поль (1998), Планирование и управление движением робота (первое издание), Springer, ISBN  3-540-76219-1

Внешние ссылки

• NFsim : MATLAB Toolbox для планирования движения с использованием функций навигации.