Угол Ханнея

В классической механике угол Ханнея является механическим аналогом вихревой геометрической фазы (или фазы Берри). Он был назван в честь Джона Ханнея из Бристольского университета , Великобритания. Хэнней впервые описал угол в 1985 году, распространив идеи недавно формализованной фазы Берри на классическую механику. ^[1]

Рассмотрим одномерную систему, движущуюся циклически, наподобие маятника. Теперь медленно измените медленный параметр. $\lambda$ , как тянуть и толкать нить маятника. Мы можем представить движение системы как имеющее быстрые и медленные колебания. Быстрое колебание — это движение маятника, а медленное колебание — это движение, когда мы тянем за его веревку. Если мы представим систему в фазовом пространстве, ее движение сметает тор.

Адиабатическая теорема классической механики утверждает, что переменная действия, соответствующая площади фазового пространства, ограниченной орбитой системы, остается примерно постоянной. Таким образом, после одного периода медленных колебаний быстрое колебание возвращается к тому же циклу, но его фаза в цикле с течением времени изменилась. Фазовый переход имеет два ведущих порядка.

Первый порядок — это «динамический угол», который просто $\int _{0}^{T}\omega (\lambda ){\dot {\lambda }}dt$ . Этот угол зависит от точных деталей движения и имеет порядок. $O(T)$ .

Второй порядок — это угол Ханнея, который, как ни удивительно, не зависит от точных деталей объекта. ${\dot {\lambda }}$ . Это зависит от траектории $\lambda$ , но не то, насколько быстро или медленно он движется по траектории. Это в порядке вещей $O(1)$ . ^[2]

Угол Ханнея в классической механике

Угол Ханнея определяется в контексте координат действия-угла . В изначально нестационарной системе переменная действия $I_{\alpha }$ является константой. После введения периодического возмущения $\lambda (t)$ , переменная действия $I_{\alpha }$ становится адиабатическим инвариантом, а угол Ханнея $\theta _{\alpha }^{H}$ для соответствующей угловой переменной можно вычислить в соответствии с интегралом по путям, который представляет собой эволюцию, при которой возмущение $\lambda (t)$ возвращается к исходному значению ^[3] $\theta _{\alpha }^{H}=-{\frac {\partial }{\partial I_{\alpha }}}\oint \!{\boldsymbol {p}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {q}}}{\partial \lambda }}\mathrm {d} \lambda =-\partial _{I_{\alpha }}\iint \omega$ где ${\boldsymbol {p}}$ и ${\boldsymbol {q}}$ являются каноническими переменными , гамильтониана а $\omega$ является симплектической гамильтоновой 2-формой.

Пример

маятник Фуко

Маятник Фуко — пример классической механики , который иногда также используется для иллюстрации фазы Берри. Ниже мы изучаем маятник Фуко, используя переменные действие-угол. Для простоты мы не будем использовать уравнение Гамильтона – Якоби , которое используется в общем протоколе. ^[4]

Рассмотрим плоский маятник с частотой $\omega$ под действием вращения Земли, угловая скорость которого равна ${\vec {\Omega }}=(\Omega _{x},\Omega _{y},\Omega _{z})$ с амплитудой, обозначенной как $\Omega =|{\vec {\Omega }}|$ . Здесь $z$ указывает направление от центра Земли к маятнику. Лагранжиан маятника равен $L={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+m\Omega _{z}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})$ Соответствующее уравнение движения: ${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=2\Omega _{z}{\dot {y}}$ ${\ddot {y}}+\omega ^{2}y=-2\Omega _{z}{\dot {x}}$ Затем вводим вспомогательную переменную $\varpi =x+iy$ на самом деле это угловая переменная. Теперь у нас есть уравнение для $\varpi$ : ${\ddot {\varpi }}+\omega ^{2}\varpi =-2i\Omega _{z}{\dot {\varpi }}$ Из его характеристического уравнения $\lambda ^{2}+\omega ^{2}=-2i\Omega _{z}\lambda$ получим его характеристический корень (заметим, что $\Omega \ll \omega$ ) $\lambda =-i\Omega _{z}\pm i{\sqrt {\Omega _{z}^{2}+\omega ^{2}}}\approx -i\Omega _{z}\pm i\omega$ Тогда решение $\varpi =e^{-i\Omega _{z}t}(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t})$ После того как Земля сделает один полный оборот, то есть $T=2\pi /\Omega \approx 24h$ , мы имеем изменение фазы для $\varpi$ $\Delta \varphi =2\pi {\frac {\omega }{\Omega }}+2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\Omega }}$ Первый член обусловлен динамическим эффектом маятника и называется динамической фазой, а второй член представляет собой геометрическую фазу, которая по существу представляет собой угол Ханнея. $\theta ^{H}=2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\Omega }}$

Вращение твердого тела

Свободное твердое тело, кувыркающееся в свободном пространстве, имеет две сохраняющиеся величины: энергию и вектор момента импульса. $E,{\vec {L}}$ . Если смотреть изнутри каркаса твердого тела, направление углового момента меняется, но его длина сохраняется. Через определенное время $T$ , направление углового момента вернется в исходную точку.

Если смотреть в инерциальной системе отсчета, тело подверглось вращению (поскольку все элементы в SO (3) являются вращениями). Классический результат гласит, что за время $T$ , тело повернулось на угол $2ET/\|{\vec {L}}\|-\Omega$

где $\Omega$ - телесный угол, охватываемый направлением углового момента, если смотреть изнутри каркаса твердого тела. ^[5]

Другие примеры

Тяжелый верх. ^[6] Орбита Земли периодически возмущается орбитой Юпитера. ^[7] Вращательное преобразование связано с магнитными поверхностями тороидального магнитного поля с неплоской осью. ^[8]

Ссылки

^ Ханней, Дж. Х. (1 февраля 1985 г.). «Угловая переменная голономия в адиабатическом ходе интегрируемого гамильтониана» . Журнал физики A: Математический и общий . 18 (2): 221–230. дои : 10.1088/0305-4470/18/2/011 . ISSN 0305-4470 .
^ Роббинс, Дж. М. (28 октября 2016 г.). «Ракурс Ханнея, тридцать лет спустя» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 49 (43): 431002. doi : 10.1088/1751-8113/49/43/431002 . hdl : 1983/2992186e-5dde-4a3f-a2a9-67377afcadf9 . ISSN 1751-8113 .
^ Тошикадзе Кариядо; Ясухиро Хацугай (2016). «Угол Хэннея: еще один параметр топологического порядка, защищенный симметрией, в классической механике». Дж. Физ. Соц. Япония . 85 (4): 043001. arXiv : 1508.06946 . Бибкод : 2016JPSJ...85d3001K . дои : 10.7566/JPSJ.85.043001 . S2CID 119297582 .
^ Хейн, Александр; Нельсон, Д.Ф. (1 февраля 1993 г.). «Исследование угла Хэннея маятника Фуко в переменных действие-угол» . Американский журнал физики . 61 (2): 170–174. дои : 10.1119/1.17332 . ISSN 0002-9505 .
^ Монтгомери, Ричард (1 мая 1991 г.). «Насколько вращается твердое тело? Фаза Берри из 18 века» . Американский журнал физики . 59 (5): 394–398. дои : 10.1119/1.16514 . ISSN 0002-9505 .
^ Пак, Чхансу (01 мая 2023 г.). «Тяжелые симметричные вершины и угол Ханнея» . Американский журнал физики . 91 (5): 357. дои : 10.1119/5.0101149 . ISSN 0002-9505 .
^ Берри, М.В.; Морган, Массачусетс (1 мая 1996 г.). «Геометрический угол для повернутых ротаторов и мировой угол Ханнея» . Нелинейность . 9 (3): 787–799. дои : 10.1088/0951-7715/9/3/009 . ISSN 0951-7715 .
^ Бхаттачарджи, А.; Шрайбер, генеральный директор; Тейлор, Дж. Б. (1992). «Геометрическая фаза, вращательные преобразования и адиабатические инварианты в тороидальных магнитных полях» . Физ. Жидкости Б. 4 (9): 2737–2739. дои : 10.1063/1.860145 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Марсден, Джерролд Э .; Монтгомери, Ричард; Ратиу, Тудор С. (1990). Редукция, симметрия и фазы в механике . Книжный магазин АМС. п. 69. ИСБН 0-8218-2498-8 .
К. Пизани (1994). Квантово-механический ab-initio расчет свойств кристаллических материалов (Труды IV школы вычислительной химии Итальянского химического общества под ред.). Спрингер. п. 282. ИСБН 3-540-61645-4 .
Карин М Рабе ; Жан-Марк Трисконе; Чарльз Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков: современный взгляд . Спрингер. п. 2. ISBN 978-3-540-34590-9 .

Внешние ссылки

Профессор Джон Х. Хэнней: основные моменты исследований . Кафедра физики Бристольского университета .

Эта классической механике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Ханней, Дж. Х. (1 февраля 1985 г.). «Угловая переменная голономия в адиабатическом ходе интегрируемого гамильтониана» . Журнал физики A: Математический и общий . 18 (2): 221–230. дои : 10.1088/0305-4470/18/2/011 . ISSN 0305-4470 .

[2] Роббинс, Дж. М. (28 октября 2016 г.). «Ракурс Ханнея, тридцать лет спустя» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 49 (43): 431002. doi : 10.1088/1751-8113/49/43/431002 . hdl : 1983/2992186e-5dde-4a3f-a2a9-67377afcadf9 . ISSN 1751-8113 .

[3] Тошикадзе Кариядо; Ясухиро Хацугай (2016). «Угол Хэннея: еще один параметр топологического порядка, защищенный симметрией, в классической механике». Дж. Физ. Соц. Япония . 85 (4): 043001. arXiv : 1508.06946 . Бибкод : 2016JPSJ...85d3001K . дои : 10.7566/JPSJ.85.043001 . S2CID 119297582 .

[4] Хейн, Александр; Нельсон, Д.Ф. (1 февраля 1993 г.). «Исследование угла Хэннея маятника Фуко в переменных действие-угол» . Американский журнал физики . 61 (2): 170–174. дои : 10.1119/1.17332 . ISSN 0002-9505 .

[5] Монтгомери, Ричард (1 мая 1991 г.). «Насколько вращается твердое тело? Фаза Берри из 18 века» . Американский журнал физики . 59 (5): 394–398. дои : 10.1119/1.16514 . ISSN 0002-9505 .

[6] Пак, Чхансу (01 мая 2023 г.). «Тяжелые симметричные вершины и угол Ханнея» . Американский журнал физики . 91 (5): 357. дои : 10.1119/5.0101149 . ISSN 0002-9505 .

[7] Берри, М.В.; Морган, Массачусетс (1 мая 1996 г.). «Геометрический угол для повернутых ротаторов и мировой угол Ханнея» . Нелинейность . 9 (3): 787–799. дои : 10.1088/0951-7715/9/3/009 . ISSN 0951-7715 .

[8] Бхаттачарджи, А.; Шрайбер, генеральный директор; Тейлор, Дж. Б. (1992). «Геометрическая фаза, вращательные преобразования и адиабатические инварианты в тороидальных магнитных полях» . Физ. Жидкости Б. 4 (9): 2737–2739. дои : 10.1063/1.860145 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]