Теорема Пикандса – Балкемы – Де Хаана.

Теорема Пикандса -Балкемы-Де Хаана дает асимптотическое хвостовое распределение случайной величины , когда ее истинное распределение неизвестно. Ее часто называют второй теоремой теории экстремальных значений . В отличие от первой теоремы ( теоремы Фишера-Типпета-Гнеденко ), которая касается максимума выборки, теорема Пикандса-Балкемы-Де Хаана описывает значения выше порога.

Теорема обязана своим названием математикам Джеймсу Пикандсу , Гусу Балкеме и Лоренсу де Хаану .

Условная функция распределения избытка

Для неизвестной функции распределения $F$ случайной величины $X$теорема Пикандса–Балкемы–Де Хаана описывает условную функцию распределения $F_{u}$ переменной $X$ выше определенного порога $u$. Это так называемая функция распределения условного избытка, определяемая как

$F_{u}(y)=P(X-u\leq y|X>u)={\frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}}$

для $0\leq y\leq x_{F}-u$, где $x_{F}$ является либо конечной, либо бесконечной правой конечной точкой основного распределения $F$. Функция $F_{u}$ описывает распределение значения превышения над порогом $u$, учитывая, что порог превышен.

Заявление

Позволять $F_{u}$ – условная функция распределения избытка. Пиканды, Балкема и Де Хаан предположил, что для большого класса основных функций распределения $F$и большой $u$, $F_{u}$ хорошо аппроксимируется обобщенным распределением Парето в следующем смысле. Предположим, что существуют функции $a(u),b(u)$, с $a(u)>0$ такой, что $F_{u}(a(u)y+b(u))$ как $u\rightarrow \infty$ сходятся к невырожденному распределению, то такой предел равен обобщенному распределению Парето:

$F_{u}(a(u)y+b(u))\rightarrow G_{k,\sigma }(y),{\text{ as }}u\rightarrow \infty$,

где

• $G_{k,\sigma }(y)=1-(1+ky/\sigma )^{-1/k}$, если $k\neq 0$
• $G_{k,\sigma }(y)=1-e^{-y/\sigma }$, если $k=0.$

Здесь σ > 0 и y ≥ 0, когда k ≥ 0, и 0 ≤ y ≤ − σ / k, когда k < 0. Эти особые случаи также известны как

• Экспоненциальное распределение со средним значением $\sigma$, если к = 0,
• Равномерное распределение по $[0,\sigma ]$, если к = -1,
• Распределение Парето , если k > 0.

Класс базовых функций распределения $F$ относятся к классу функций распределения $F$ удовлетворяющий теореме Фишера-Типпета-Гнеденко.

Поскольку частным случаем обобщенного распределения Парето является степенной закон, теорема Пикандса-Балкемы-Де Хаана иногда используется для обоснования использования степенного закона для моделирования экстремальных событий.

Теорема была расширена и теперь включает более широкий диапазон распределений. Хотя расширенные версии охватывают, например, нормальное и логнормальное распределения, все же существуют непрерывные распределения, которые не охвачены.

См. также

• Стабильное распространение