Метод Милна-Томсона для нахождения голоморфной функции

В математике метод Милна-Томсона — это метод нахождения голоморфной функции , действительная или мнимая часть которой задана. Он назван в честь Луи Мелвилла Милн-Томсона .

Введение

Позволять $z=x+iy$ и ${\bar {z}}\ =x-iy$ где $x$ и $y$ реальны ​ .

Позволять $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ быть любой голоморфной функцией .

Пример 1: $z^{4}=(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4})+i(4x^{3}y-4xy^{3})$

Пример 2: $\exp(iz)=\cos(x)\exp(-y)+i\sin(x)\exp(-y)$

В своей статье Милн-Томсон рассматривает проблему нахождения $f(z)$ когда 1. $u(x,y)$ и $v(x,y)$ даны, 2. $u(x,y)$ дано и $f(z)$ действительно на действительной оси, 3. только $u(x,y)$ дано, 4. только $v(x,y)$ дано. Его очень интересуют задачи 3 и 4, но ответы на более простые задачи 1 и 2 нужны для доказательства ответов на задачи 3 и 4.

1-я проблема

Проблема : $u(x,y)$ и $v(x,y)$ известны; что такое $f(z)$?

Отвечать : $f(z)=u(z,0)+iv(z,0)$

Словами: голоморфная функция $f(z)$ можно получить, поставив $x=z$ и $y=0$ в $u(x,y)+iv(x,y)$.

Пример 1: с $u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}$ и $v(x,y)=4x^{3}y-4xy^{3}$ мы получаем $f(z)=z^{4}$.

Пример 2: с $u(x,y)=\cos(x)\exp(-y)$ и $v(x,y)=\sin(x)\exp(-y)$ мы получаем $f(z)=\cos(z)+i\sin(z)=\exp(iz)$.

Доказательство :

Из первой пары определений $x={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ и $y={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$.

Поэтому $f(z)=u\left({\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\ ,{\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\right)+iv\left({\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\ ,{\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\right)$.

Это личность, даже когда $x$ и $y$ недействительны, т.е. две переменные $z$ и ${\bar {z}}\$ можно считать независимым. положить ${\bar {z}}=z$ мы получаем $f(z)=u(z,0)+iv(z,0)$.

2-я проблема

Проблема : $u(x,y)$ известно, $v(x,y)$ неизвестно, $f(x+i0)$ реален; что такое $f(z)$?

Отвечать : $f(z)=u(z,0)$.

Здесь применим только пример 1: с $u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}$ мы получаем $f(z)=z^{4}$.

Доказательство : " $f(x+i0)$ реально" означает $v(x,0)=0$. В этом случае ответом на задачу 1 будет $f(z)=u(z,0)$.

3-я проблема

Проблема : $u(x,y)$ известно, $v(x,y)$ неизвестно; что такое $f(z)$?

Отвечать : $f(z)=u(z,0)-i\int u_{y}(z,0)dz$ (где $u_{y}(x,y)$ является частной производной $u(x,y)$ относительно $y$).

Пример 1: с $u(x,y)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}$ и $u_{y}(x,y)=-12x^{2}y+4y^{3}$ мы получаем $f(z)=z^{4}+iC$ с реальным, но неопределенным $C$.

Пример 2: с $u(x,y)=\cos(x)\exp(-y)$ и $u_{y}(x,y)=-\cos(x)\exp(-y)$ мы получаем $f(z)=\cos(z)+i\int \cos(z)dz=\cos(z)+i(\sin(z)+C)=\exp(iz)+iC$.

Доказательство : Это следует из $f(z)=u(z,0)+i\int v_{x}(z,0)dz$ и 2-е уравнение Коши-Римана $u_{y}(x,y)=-v_{x}(x,y)$.

4-я проблема

Проблема : $u(x,y)$ неизвестно, $v(x,y)$ известно; что такое $f(z)$?

Отвечать : $f(z)=\int v_{y}(z,0)dz+iv(z,0)$.

Пример 1: с $v(x,y)=4x^{3}y-4xy^{3}$ и $v_{y}(x,y)=4x^{3}-12xy^{2}$ мы получаем $f(z)=\int 4z^{3}dz+i0=z^{4}+C$ с реальным, но неопределенным $C$.

Пример 2: с $v(x,y)=\sin(x)\exp(-y)$ и $v_{y}(x,y)=-\sin(x)\exp(-y)$ мы получаем $f(z)=-\int \sin(z)dz+i\sin(z)=\cos(z)+C+i\sin(z)=\exp(iz)+C$.

Доказательство : Это следует из $f(z)=\int u_{x}(z,0)dz+iv(z,0)$ и 1-е уравнение Коши-Римана $u_{x}(x,y)=v_{y}(x,y)$.