Пропорциональное разделение

Пропорциональное разделение — это своего рода справедливое разделение , при котором ресурс делится между n партнерами с субъективными оценками, в результате чего каждому партнеру предоставляется не менее 1/ n ресурса по его/ее субъективной оценке.

Пропорциональность была первым критерием справедливости, изучавшимся в литературе; поэтому его иногда называют «простым справедливым разделением». Впервые он был задуман Штейнхаусом. ^[1]

Пример

Рассмотрим земельный актив, который необходимо разделить между тремя наследниками: Алисой и Бобом, которые считают, что он стоит 3 миллиона долларов, и Джорджем, который считает, что он стоит 4,5 миллиона долларов. При пропорциональном разделе Алиса получает земельный участок, который, по ее мнению, стоит не менее 1 миллиона долларов, Боб получает земельный участок, который, по его мнению, стоит не менее 1 миллиона долларов (даже если Алиса может думать, что он стоит меньше), а Джордж получает земельный участок, стоимость которого, по его мнению, составляет не менее 1,5 миллиона долларов.

Существование

Пропорциональное разделение не всегда существует. Например, если ресурс содержит несколько неделимых предметов и количество людей больше количества предметов, то некоторым людям вообще не достанется предмет и их ценность будет равна нулю. Тем не менее такое разделение существует с высокой вероятностью для неделимых объектов при определенных предположениях об оценках агентов. ^[2]

При этом пропорциональное деление гарантированно существует, если выполняются следующие условия:

Оценки игроков неатомарны , т. е. не существует неделимых элементов с положительным значением.
Оценки игроков аддитивны , т. е. при разделении фигуры стоимость фигуры равна сумме ее частей.

Следовательно, пропорциональное разделение обычно изучается в контексте справедливого разрезания торта . См. раздел «Пропорциональное разрезание торта» для получения подробной информации о процедурах достижения пропорционального деления в контексте разрезания торта.

Более мягким критерием справедливости является частичная пропорциональность , при которой каждый партнер получает определенную долю f ( n ) от общей стоимости, где f ( n ) ≤ 1/ n . Частично пропорциональное разделение существует (при определенных условиях) даже для неделимых предметов.

Варианты

Суперпропорциональное деление

Сверхпропорциональное деление — это деление, при котором каждый партнер получает строго более 1/ n ресурса по своей субъективной оценке.

Конечно, такое разделение не всегда существует: когда все партнеры имеют одинаковые функции ценности, лучшее, что мы можем сделать, — это дать каждому партнеру ровно 1/ n . Таким образом, необходимым условием существования сверхпропорционального разделения является то, что не все партнеры имеют одинаковую меру стоимости.

Удивительным фактом является то, что, когда оценки аддитивны и неатомарны, это условие также является достаточным. Т.е. когда есть хотя бы два партнера, у которых функция ценности хоть немного различается, то происходит сверхпропорциональное деление, при котором все партнеры получают более 1/ n . смотрите в разделе «Суперпропорциональное деление» Подробности .

Связь с другими критериями справедливости

Последствия между пропорциональностью и отсутствием зависти

Пропорциональность (PR) и независть (EF) — два независимых свойства, но в некоторых случаях одно из них может предполагать другое.

Когда все оценки являются аддитивными функциями множества и весь пирог разделен, имеют место следующие выводы:

При наличии двух партнеров PR и EF эквивалентны;
При наличии трех и более партнеров EF предполагает PR, но не наоборот. Например, возможно, что каждый из трех партнеров получает по 1/3, по его субъективному мнению, но по мнению Алисы, доля Боба стоит 2/3.

Когда оценки только субаддитивны , EF по-прежнему подразумевает PR, но PR больше не предполагает EF даже с двумя партнерами: возможно, что доля Алисы в ее глазах стоит 1/2, но доля Боба стоит даже больше. Напротив, когда оценки только супераддитивны , PR по-прежнему подразумевает EF с двумя партнерами, но EF больше не предполагает PR даже с двумя партнерами: возможно, что доля Алисы в ее глазах стоит 1/4, а доля Боба стоит даже меньше. Аналогично, когда не весь пирог разделен, EF больше не подразумевает PR. Последствия обобщены в следующей таблице:

оценки	2 партнера	3+ партнера
Добавка	$EF\implies PR$ $PR\implies EF$	$EF\implies PR$
субаддитивный	$EF\implies PR$	$EF\implies PR$
Супердобавка	$PR\implies EF$	-
Общий	-	-

Стабильность добровольных обменов

Одним из преимуществ критерия пропорциональности перед критерием отсутствия зависти и аналогичными критериями является его стабильность в отношении добровольных обменов.

В качестве примера предположим, что определенная земля разделена между тремя партнерами: Алисой, Бобом и Джорджем, причем разделение является пропорциональным и свободным от зависти. Спустя несколько месяцев Алиса и Джордж решают объединить свои земельные участки и разделить их так, как им выгоднее. С точки зрения Боба, разделение по-прежнему пропорционально, поскольку он по-прежнему сохраняет субъективную ценность не менее 1/3 от общей суммы, независимо от того, что Алиса и Джордж делают со своими участками. С другой стороны, новое подразделение, возможно, не будет свободно от зависти. Например, возможно, что изначально и Алиса, и Джордж получили земельный участок, который Боб субъективно оценивает как 1/3, но теперь, после передела, Джордж получил всю стоимость (в глазах Боба), и теперь Боб завидует Джорджу.

Следовательно, использование отсутствия зависти в качестве критерия справедливости подразумевает, что мы должны ограничить право людей на добровольный обмен после разделения. Использование пропорциональности в качестве критерия справедливости не имеет таких негативных последствий.

Индивидуальная рациональность

Дополнительным преимуществом пропорциональности является то, что она совместима с индивидуальной рациональностью в следующем смысле. Предположим, что n партнеров владеют общим ресурсом. Во многих практических сценариях (хотя и не всегда) партнеры имеют возможность продать ресурс на рынке и разделить доходы так, чтобы каждый партнер получил ровно 1/ n . Следовательно, рациональный партнер согласится участвовать в процедуре раздела только в том случае, если процедура гарантирует получение им хотя бы 1/ n его общей стоимости.

Кроме того, должна быть хотя бы возможность (если не гарантия) того, что партнер получит более 1/ n ; этим объясняется важность теорем существования суперпропорционального деления .

См. также

Ссылки

^ Штайнхаус, Хьюго (1948). «Проблема справедливого дележа». Эконометрика . 16 (1): 101–104. JSTOR 1914289 .
^ Суксомпонг, Варут (2016). «Асимптотическое существование пропорционально справедливого распределения». Математические социальные науки . 81 : 62–65. arXiv : 1806.00218 . doi : 10.1016/j.mathsocsci.2016.03.007 .

Краткое изложение процедур пропорционального и других разделов представлено в: Остин, АК (1982). «Делимся тортом». Математический вестник . 66 (437): 212. дои : 10.2307/3616548 . JSTOR 3616548 .

[1] Штайнхаус, Хьюго (1948). «Проблема справедливого дележа». Эконометрика . 16 (1): 101–104. JSTOR 1914289 .

[2] Суксомпонг, Варут (2016). «Асимптотическое существование пропорционально справедливого распределения». Математические социальные науки . 81 : 62–65. arXiv : 1806.00218 . doi : 10.1016/j.mathsocsci.2016.03.007 .

[1]

[2]