Фильтр, сохраняющий симметрию

В математике наблюдатели , сохраняющие симметрию , ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} также известные как инвариантные фильтры , представляют собой методы оценки, структура и конструкция которых используют преимущества естественной симметрии (или инвариантности) рассматриваемой нелинейной модели . Таким образом, основным преимуществом является ожидаемая гораздо более обширная область сходимости, чем у стандартных методов фильтрации, например, расширенного фильтра Калмана (EKF) или фильтра Калмана без запаха (UKF).

Мотивация

Большинство физических систем обладают естественной симметрией (или инвариантностью), т.е. существуют преобразования (например, вращения, перемещения, масштабирование), которые оставляют систему неизменной. С математической и инженерной точек зрения имеет смысл, что фильтр, хорошо спроектированный для рассматриваемой системы, должен сохранять те же свойства инвариантности.

Определение

Учитывать $G$ группа Лия и (локальные) группы преобразований $\varphi _{g},\psi _{g},\rho _{g}$ , где $g\in G$ .

Нелинейная система

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,u)\\y&=h(x,u)\end{aligned}}

называется инвариантным, если оно остается неизменным под действием $\varphi _{g},\psi _{g},\rho _{g}$ , то есть

{\begin{aligned}{\dot {X}}&=f(X,U)\\Y&=h(X,U),\end{aligned}}

где $(X,U,Y)=(\varphi _{g}(x),\psi _{g}(u),\rho _{g}(y))$ .

Система ${\dot {\hat {x}}}=F({\hat {x}},u,y)$ тогда является инвариантным фильтром , если

$F(x,u,h(x,u))=f(x,u)$ , то есть то, что это можно записать ${\dot {\hat {x}}}=f({\hat {x}},u)+C$ , где поправочный член $C$ равно $0$ когда ${\hat {y}}=y$
${\dot {\hat {X}}}=F({\hat {X}},U,Y)$ оставляет его неизменным , т. е. группа преобразований .

Общее уравнение и основной результат

Это было доказано ^{[ 1 ]} что каждый инвариантный наблюдатель читает

{\dot {\hat {x}}}=f({\hat {x}},u)+W({\hat {x}})L{\Bigl (}I({\hat {x}},u),E({\hat {x}},u,y){\Bigr )}E({\hat {x}},u,y),

где

$E({\hat {x}},u,y)$ — инвариантная ошибка вывода , отличающаяся от обычной ошибки вывода. ${\hat {y}}-y$
$W({\hat {x}})={\bigl (}w_{1}({\hat {x}}),..,w_{n}({\hat {x}}){\bigr )}$ является инвариантным фреймом
$I({\hat {x}},u)$ — инвариантный вектор
$L(I,E)$ является свободно выбранной матрицей усиления.

Учитывая рассматриваемую систему и связанную с ней группу преобразований, существует конструктивный метод определения $E({\hat {x}},u,y),W({\hat {x}}),I({\hat {x}},u)$ , основанный на методе движущейся рамки.

Для анализа сходимости ошибок используется ошибка инвариантного состояния. $\eta ({\hat {x}},x)$ определяется, что отличается от стандартной ошибки вывода ${\hat {x}}-x$ , поскольку стандартная ошибка вывода обычно не сохраняет симметрию системы. Одним из основных преимуществ фильтров, сохраняющих симметрию, является то, что система ошибок является « автономной », но для свободного известного инвариантного вектора $I({\hat {x}},u)$ , то есть ${\dot {\eta }}=\Upsilon {\bigl (}\eta ,I({\hat {x}},u){\bigr )}$ . Это важное свойство позволяет оценщику иметь очень большую область сходимости и его легко настраивать. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Чтобы выбрать матрицу усиления $L(I,E)$ , есть две возможности:

детерминистический подход , который приводит к построению действительно нелинейных фильтров, сохраняющих симметрию (похожих на наблюдателей типа Люенбергера)
стохастический подход , который приводит к инвариантным расширенным фильтрам Калмана (аналогичным наблюдателям, подобным Калману).

Приложения

Существует множество приложений, использующих такие инвариантные наблюдатели для оценки состояния рассматриваемой системы. Области применения включают в себя

системы ориентации и курса с ^{[ 3 ]} или без ^{[ 4 ]} датчик положения/скорости (например, GPS)
системы локализации наземной техники
химические реакторы ^{[ 1 ]}
океанография

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с С. Боннабель, Ф. Мартен и П. Рушон, «Наблюдатели, сохраняющие симметрию», Транзакции IEEE по автоматике и управлению , том. 53, нет. 11, стр. 2514–2526, 2008.
^ С. Боннабель, Ф. Мартин и Э. Салаун, «Инвариантный расширенный фильтр Калмана: теория и применение к задаче оценки ориентации с учетом скорости», 48-я конференция IEEE по принятию решений и управлению, стр. 1297-1304, 2009.
^ Перейти обратно: ^а ^б Ф. Мартин и Э. Салаун, «Инвариантный наблюдатель для ссылки на заголовок ориентации с учетом скорости Земли». системы», 17-й Всемирный конгресс МФБ, стр. 9857-9864, 2008 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Ф. Мартин и Э. Салаун, «Разработка и внедрение недорогой системы определения ориентации и курса на основе наблюдателя», Control Engineering Practice , 2010.

[Bonnabel_tac-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с С. Боннабель, Ф. Мартен и П. Рушон, «Наблюдатели, сохраняющие симметрию», Транзакции IEEE по автоматике и управлению , том. 53, нет. 11, стр. 2514–2526, 2008.

[Bonnabel_cdc09-2] С. Боннабель, Ф. Мартин и Э. Салаун, «Инвариантный расширенный фильтр Калмана: теория и применение к задаче оценки ориентации с учетом скорости», 48-я конференция IEEE по принятию решений и управлению, стр. 1297-1304, 2009.

[Martin_ifac-3] Перейти обратно: ^а ^б Ф. Мартин и Э. Салаун, «Инвариантный наблюдатель для ссылки на заголовок ориентации с учетом скорости Земли». системы», 17-й Всемирный конгресс МФБ, стр. 9857-9864, 2008 г.

[Martin_cep-4] Перейти обратно: ^а ^б Ф. Мартин и Э. Салаун, «Разработка и внедрение недорогой системы определения ориентации и курса на основе наблюдателя», Control Engineering Practice , 2010.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]