Анализ продолжения спектра
![]() | В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
Анализ продолжения спектра (SCA) представляет собой обобщение концепции ряда Фурье на непериодические функции, из которых во временной области была выбрана только часть.
Напомним, что ряд Фурье подходит только для анализа периодических (или конечно-областных) функций f ( x ) с периодом 2π. Его можно выразить как бесконечный ряд синусоидов:
где – амплитуда отдельных гармоник.
Однако в SCA спектр разлагается на оптимизированные дискретные частоты. Как следствие, поскольку предполагается, что период выборочной функции бесконечен или еще не известен, каждая из дискретных периодических функций, составляющих фрагмент выборочной функции, не может рассматриваться как кратная основной частоте:
Таким образом, SCA не обязательно обеспечивает периодические функции, как это было бы в анализе Фурье.Для функций с действительным знаком ряд SCA можно записать как:
где An n и B — амплитуды серии. Амплитуды можно решить только в том случае, если ряд значений предварительно оптимизирован для желаемой целевой функции (обычно с наименьшими остатками ). не обязательно является средним значением за интервал выборки: можно предпочесть включить преобладающую информацию о поведении значения смещения во временной области.
Этимология [ править ]
SCA занимается проблемой прогнозирования продолжения частотного спектра за пределами дискретного (обычно стохастического ) фрагмента временного ряда. В отличие от обычного анализа Фурье, который бесконечно повторяет наблюдаемый период функции или временную область, SCA отфильтровывает точные составляющие частоты из наблюдаемого спектра и позволяет им продолжаться (соответственно, предшествовать) во временной области. Поэтому в научной терминологии предпочтение отдается термину «продолжение», а не, например, «экстраполяция» .
Алгоритм [ править ]
Требуется алгоритм, который сможет справиться с несколькими задачами: удалением тренда, декомпозицией, оптимизацией частотного разрешения, суперпозицией, преобразованием и эффективностью вычислений.
- Удаление тренда или оценка тренда .
- Разложение .
Поскольку дискретное преобразование Фурье по своей сути связано с анализом Фурье, этот тип спектрального анализа по определению не подходит для разложения спектра в SCA. Однако ДПФ (или БПФ ) может обеспечить начальное приближение, которое часто ускоряет разложение.
- Улучшение частотного разрешения .
После разложения дискретной частоты ее следует отфильтровать для получения оптимального разрешения (т.е. варьируя три параметра: значение частоты, амплитуду и фазу).
- Трансформация .
Спектральная дисперсия
По сравнению с DFT (или FFT ), который характеризуется идеальным спектральным разрешением, но плохой временной информацией, SCA отдает предпочтение временной информации, но дает более высокую дисперсию спектра. Это свойство показывает, где находится аналитическая сила SCA. Например, разрешение по частоте дискретного сложения по определению намного лучше в SCA, чем в DFT.