Логика зависимости

Логика зависимости — это логический формализм, созданный Йоуко Вяэняненом . который добавляет атомы зависимости в язык логики первого порядка . Атом зависимости представляет собой выражение вида $=\!\!(t_{1}\ldots t_{n})$, где $t_{1}\ldots t_{n}$ являются членами и соответствует утверждению, что значение $t_{n}$ от функционально зависит значений $t_{1},\ldots ,t_{n-1}$.

Логика зависимостей — это логика несовершенной информации , такая как логика кванторов ветвления или логика, дружественная к независимости (логика IF): другими словами, ее теоретико-игровая семантика может быть получена из семантики логики первого порядка путем ограничения доступности информации для игроков, тем самым допуская нелинейно упорядоченные модели зависимости и независимости между переменными. Однако логика зависимости отличается от этих логик тем, что она отделяет понятия зависимости и независимости от понятия количественной оценки .

Синтаксис

Синтаксис логики зависимости является расширением синтаксиса логики первого порядка. Для фиксированной сигнатуры σ = ( S _func , S _rel , ar) набор всех корректно сформированных формул логики зависимостей определяется согласно следующим правилам:

Условия

Термины в логике зависимости определяются точно так же, как и в логике первого порядка .

Атомные формулы

В логике зависимостей существует три типа атомарных формул:

1. — Реляционный атом это выражение формы $Rt_{1}\ldots t_{n}$ для любого n -арного отношения $R$ в нашей подписи и для любого n -кортежа термов $(t_{1},\ldots ,t_{n})$;
2. Атом равенства является выражением формы $t_{1}=t_{2}$, для любых двух членов $t_{1}$ и $t_{2}$;
3. Атом зависимости представляет собой выражение вида $=\!\!(t_{1}\ldots t_{n})$, для любого $n\in \mathbb {N}$ и для любого n -кортежа термов $(t_{1},\ldots ,t_{n})$.

Ничто иное не является атомарной формулой логики зависимости.

Атомы отношения и равенства также называются атомами первого порядка .

Сложные формулы и предложения

Для фиксированной сигнатуры σ множество всех формул $\phi$ логики зависимостей и соответствующих им наборов свободных переменных ${\mbox{Free}}(\phi )$ определяются следующим образом:

1. Любая атомарная формула $\phi$ это формула, и ${\mbox{Free}}(\phi )$ – множество всех входящих в него переменных;
2. Если $\phi$ это формула, так что $\lnot \phi$ и ${\mbox{Free}}(\lnot \phi )={\mbox{Free}}(\phi )$;
3. Если $\phi$ и $\psi$ являются формулами, так что $\phi \vee \psi$ и ${\mbox{Free}}(\phi \vee \psi )={\mbox{Free}}(\phi )\cup {\mbox{Free}}(\psi )$;
4. Если $\phi$ это формула и $x$ это переменная, $\exists x\phi$ также является формулой и ${\mbox{Free}}(\exists v\phi )={\mbox{Free}}(\phi )\backslash \{v\}$.

Ничто не является формулой логики зависимости, если оно не может быть получено путем конечного числа применений этих четырех правил.

Формула $\phi$ такой, что ${\mbox{Free}}(\phi )=\emptyset$ это предложение логики зависимости.

Соединение и универсальная количественная оценка

В приведенном выше представлении синтаксиса логики зависимости конъюнкция и универсальная квантификация не рассматриваются как примитивные операторы; скорее, они определяются в терминах отрицания и, соответственно, дизъюнкции и экзистенциальной квантификации посредством законов Де Моргана .

Поэтому, $\phi \wedge \psi$ воспринимается как сокращение для $\lnot (\lnot \phi \vee \lnot \psi )$, и $\forall x\phi$ воспринимается как сокращение для $\lnot (\exists x(\lnot \phi ))$.

Семантика

Семантика команды для логики зависимости является вариантом композиционной семантики Уилфрида Ходжеса для логики IF . Существует эквивалентная теоретико-игровая семантика для логики зависимостей как в терминах несовершенных информационных игр, так и в терминах совершенных информационных игр.

Команды

Позволять ${\mathcal {A}}=(A,\sigma ,I)$ — структура первого порядка и пусть $V=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ быть конечным набором переменных. Тогда команда над A с областью V это набор заданий над A с областью V , то есть набор функций µ из V в A. —

Может быть полезно визуализировать такую ​​команду как связь с базой данных с атрибутами. $v_{1},\ldots ,v_{n}$ и только с одним типом данных, соответствующим домену A структуры: например, если команда X состоит из четырех заданий $\mu _{1},\ldots ,\mu _{4}$ с доменом $\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ тогда это можно представить как отношение

${\begin{array}{c|ccc}&v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\hline \mu _{1}&\mu _{1}(v_{1})&\mu _{1}(v_{2})&\mu _{1}(v_{3})\\\mu _{2}&\mu _{2}(v_{1})&\mu _{2}(v_{2})&\mu _{2}(v_{3})\\\mu _{3}&\mu _{3}(v_{1})&\mu _{3}(v_{2})&\mu _{3}(v_{3})\\\mu _{4}&\mu _{4}(v_{1})&\mu _{4}(v_{2})&\mu _{4}(v_{3})\end{array}}$

Положительное и отрицательное удовлетворение

Семантику команды можно определить в терминах двух отношений. ${\mathcal {T}}$ и ${\mathcal {C}}$ между структурами, командами и формулами.

Учитывая структуру ${\mathcal {A}}$, команда $X$ над ним и формула логики зависимости $\phi$ чьи свободные переменные содержатся в области определения $X$, если $({\mathcal {A}},X,\phi )\in {\mathcal {T}}$ мы говорим это $X$ это козырь для $\phi$ в ${\mathcal {A}}$, и мы пишем это ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\phi$; и аналогично, если $({\mathcal {A}},X,\phi )\in {\mathcal {C}}$ мы говорим это $X$ является козырем для $\phi$ в ${\mathcal {A}}$, и мы пишем это ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}\phi$.

Если ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\phi$ можно также сказать, что $\phi$ удовлетворен положительно ​ $X$ в ${\mathcal {A}}$, а если вместо этого ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}\phi$ можно сказать, что $\phi$ удовлетворен отрицательно ​ $X$ в ${\mathcal {A}}$.

Необходимость отдельного рассмотрения положительного и отрицательного удовлетворения является следствием того, что в логике зависимости, как и в логике кванторов ветвления или в логике ЕСЛИ , закон исключенного третьего не выполняется; в качестве альтернативы можно предположить, что все формулы находятся в нормальной форме отрицания , используя отношения Де Моргана, чтобы определить количественную оценку универсальности и конъюнкцию из экзистенциальной количественной оценки и дизъюнкции соответственно, и рассматривать только положительное удовлетворение.

Учитывая предложение $\phi$, мы говорим, что $\phi$ верно ​ в ${\mathcal {A}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {A}}\models _{\{\emptyset \}}^{+}\phi$, и мы говорим, что $\phi$ является ложным в ${\mathcal {A}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {A}}\models _{\{\emptyset \}}^{-}\phi$.

Семантические правила

Что касается случая отношения выполнимости Альфреда Тарского для формул первого порядка, положительные и отрицательные отношения выполнимости командной семантики для логики зависимости определяются структурной индукцией по формулам языка. Поскольку оператор отрицания меняет местами положительную и отрицательную выполнимость, две индукции, соответствующие $\models ^{+}$ и $\models ^{-}$ необходимо выполнять одновременно:

Положительная выполнимость

1. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}Rt_{1}\ldots t_{n}$ тогда и только тогда, когда
   1. $R$ является n -арным символом в подписи ${\mathcal {A}}$;
   2. Все переменные, встречающиеся в терминах $t_{1},\ldots ,t_{n}$ находятся в сфере $X$;
   3. Для каждого задания $\mu \in X$, оценка кортежа $(t_{1},\ldots ,t_{n})$ в соответствии с $\mu$ находится в интерпретации $R$ в ${\mathcal {A}}$;
2. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}t_{1}=t_{2}$ тогда и только тогда, когда
   1. Все переменные, встречающиеся в терминах $t_{1}$ и $t_{2}$ находятся в сфере $X$;
   2. Для каждого задания $\mu \in X$, оценки $t_{1}$ и $t_{2}$ в соответствии с ${\mathcal {A}}$ одинаковы;
3. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}=\!\!(t_{1}\ldots t_{n})$ тогда и только тогда, когда любые два присваивания $\mu ,\mu '\in X$ чьи оценки кортежа $(t_{1},\ldots ,t_{n-1})$ совпадают, присвоить одно и то же значение $t_{n}$;
4. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\lnot \phi$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}\phi$;
5. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\phi \vee \psi$ тогда и только тогда, когда существуют команды $Y$ и $Z$ такой, что
   1. $X=Y\cup Z'$
   2. ${\mathcal {A}}\models _{Y}^{+}\phi$;
   3. ${\mathcal {A}}\models _{Z}^{+}\psi$;
6. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\exists x\phi$ тогда и только тогда, когда существует функция $F$ от $X$ в область ${\mathcal {A}}$ такой, что ${\mathcal {A}}\models _{X[F/x]}^{+}\phi$, где $X[F/x]=\{\mu [F(\mu )/x]:\mu \in X\}$.

Отрицательная выполнимость

1. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}Rt_{1}\ldots t_{n}$ тогда и только тогда, когда
   1. $R$ является n -арным символом в подписи ${\mathcal {A}}$;
   2. Все переменные, встречающиеся в терминах $t_{1},\ldots ,t_{n}$ находятся в сфере $X$;
   3. Для каждого задания $\mu \in X$, оценка кортежа $(t_{1},\ldots ,t_{n})$ в соответствии с $\mu$ дело не в интерпретации $R$ в ${\mathcal {A}}$;
2. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}t_{1}=t_{2}$ тогда и только тогда, когда
   1. Все переменные, встречающиеся в терминах $t_{1}$ и $t_{2}$ находятся в сфере $X$;
   2. Для каждого задания $\mu \in X$, оценки $t_{1}$ и $t_{2}$ в соответствии с ${\mathcal {A}}$ разные;
3. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}=\!\!(t_{1}\ldots t_{n})$ тогда и только тогда, когда $X$ пустая команда;
4. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}\lnot \phi$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\phi$;
5. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}\phi \vee \psi$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}\phi$ и ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}\psi$;
6. ${\mathcal {A}}\models _{X}^{-}\exists x\phi$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {A}}\models _{X[A/x]}^{-}\phi$, где $X[A/x]=\{\mu [a/x]:a\in A\}$ и $A$ является областью ${\mathcal {A}}$.

Логика зависимости и другая логика

Логика зависимостей и логика первого порядка

Логика зависимостей — это консервативное расширение логики первого порядка: другими словами, для каждого предложения первого порядка $\phi$ и структура ${\mathcal {A}}$ у нас есть это ${\mathcal {A}}\models _{\{\emptyset \}}^{+}\phi$ тогда и только тогда, когда $\phi$ верно в ${\mathcal {A}}$ согласно обычной семантике первого порядка. первого порядка Более того, для любой формулы $\phi$, ${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\phi$ тогда и только тогда, когда все задания $\mu \in X$ удовлетворить $\phi$ в ${\mathcal {A}}$ согласно обычной семантике первого порядка.

Однако логика зависимости строго более выразительна, чем логика первого порядка: например, предложение

$\exists z\forall x_{1}\forall x_{2}\exists y_{1}\exists y_{2}(=\!\!(x_{1},y_{1})\wedge =\!\!(x_{2},y_{2})\wedge (x_{1}=x_{2}\leftrightarrow y_{1}=y_{2})\wedge y_{1}\not =z)$

верно в модели ${\mathcal {A}}$ тогда и только тогда, когда область определения этой модели бесконечна, даже если нет формулы первого порядка $\phi$ имеет это свойство.

Логика зависимости и логика второго порядка

Каждое предложение логики зависимости эквивалентно некоторому предложению в экзистенциальном фрагменте логики второго порядка . то есть к некоторому предложению второго порядка вида

$\exists R_{1}\ldots \exists R_{n}\psi (R_{1},\ldots ,R_{n})$

где $\psi (R_{1},\ldots ,R_{n})$ не содержит кванторов второго порядка. И наоборот, каждое предложение второго порядка в приведенной выше форме эквивалентно некоторому предложению логики зависимости.

Что касается открытых формул, логика зависимости соответствует монотонному вниз фрагменту экзистенциальной логики второго порядка в том смысле, что непустой класс команд можно определить с помощью формулы логики зависимости тогда и только тогда, когда соответствующий класс отношений монотонен вниз и определим. по экзистенциальной формуле второго порядка.

Логика зависимостей и кванторы ветвления

Кванторы ветвления выражаются через атомы зависимости: например, выражение

$(Q_{H}x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\phi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\equiv {\begin{pmatrix}\forall x_{1}\exists y_{1}\\\forall x_{2}\exists y_{2}\end{pmatrix}}\phi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})$

эквивалентно предложению логики зависимости $\forall x_{1}\exists y_{1}\forall x_{2}\exists y_{2}(=\!\!(x_{1},y_{1})\wedge =\!\!(x_{2},y_{2})\wedge \phi )$в том смысле, что первое выражение истинно в модели тогда и только тогда, когда истинно второе выражение.

И наоборот, любое предложение логики зависимости эквивалентно некоторому предложению в логике кванторов ветвления, поскольку все экзистенциальные предложения второго порядка выражаются в логике кванторов ветвления.

Логика зависимости и логика ЕСЛИ

Любое предложение логики зависимости логически эквивалентно некоторому предложению логики ЕСЛИ и наоборот.

Однако проблема становится более тонкой, когда речь идет об открытых формулах. Переводы между логикой ЕСЛИ и формулами логики зависимостей и наоборот существуют до тех пор, пока область определения команды фиксирована: другими словами, для всех наборов переменных. $V=\{v_{1}\ldots v_{n}\}$ и все логические формулы ЕСЛИ $\phi$ со свободными переменными в $V$ существует логическая формула зависимости $\phi ^{D}$ такой, что

${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\phi \Leftrightarrow {\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\phi ^{D}$

для всех структур ${\mathcal {A}}$ и для всех команд $X$ с доменом $V$, и наоборот, для каждой формулы логики зависимости $\psi$ со свободными переменными в $V$ существует логическая формула ЕСЛИ $\psi ^{I}$ такой, что

${\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\psi \Leftrightarrow {\mathcal {A}}\models _{X}^{+}\psi ^{I}$

для всех структур ${\mathcal {A}}$ и для всех команд $X$ с доменом $V$. Эти переводы не могут быть композиционными.

Характеристики

Формулы логики зависимостей замкнуты вниз : если ${\mathcal {A}}\models _{X}\phi$ и $Y\subseteq X$ затем ${\mathcal {A}}\models _{Y}\psi$. Более того, пустая команда (но не команда, содержащая пустое задание) удовлетворяет всем формулам логики зависимости, как положительно, так и отрицательно.

Закон исключенного третьего не работает в логике зависимости: например, формула $\exists y(=\!\!(y)\wedge y=x)$ не удовлетворен ни положительно, ни отрицательно командой $X=\{(x:0),(x:1)\}$. Более того, дизъюнкция не идемпотентна и не распространяется на конъюнкцию.

И теорема о компактности , и теорема Левенхайма – Скулема верны для логики зависимостей. Интерполяционная теорема Крейга также справедлива, но из-за характера отрицания в логике зависимостей в несколько измененной формулировке: если две формулы логики зависимостей $\phi$ и $\psi$ противоречивы оба , то есть никогда не бывает, чтобы $\phi$ и $\psi$ выполняются в той же модели, то существует первого порядка предложение $\theta$ в общем языке из двух предложений так, что $\phi$ подразумевает $\theta$ и $\theta$ противоречит $\psi$.

Что касается логики ЕСЛИ, логика зависимости может определять свой собственный оператор истинности: точнее, существует формула $\tau (x)$ такой, что для каждого предложения $\phi$ логики зависимостей и всех моделей ${\mathcal {M}}_{\omega }$ удовлетворяющие аксиомам Пеано , если $'\phi '$ это Гёделя число $\phi$ затем

${\mathcal {M}}_{\omega }\models _{\{\emptyset \}}^{+}\!\phi$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {M}}_{\omega }\models _{\{\emptyset \}}^{+}\tau ('\phi ').$

Это не противоречит теореме о неопределимости Тарского , поскольку отрицание логики зависимости не является обычным противоречивым.

Сложность

Как следствие теоремы Феджина , свойства конечных структур, определяемых Логическое предложение зависимости точно соответствует свойствам NP . Более того, Дюран и Континен показали, что ограничение числа кванторов всеобщности или арности атомов зависимости в предложений порождает теоремы иерархии относительно выразительной силы.

Проблема несогласованности логики зависимостей полуразрешима и фактически эквивалентна проблеме несогласованности логики первого порядка. Однако проблема принятия решения для логики зависимостей не является арифметической и фактически является полной по отношению к $\Pi _{2}$ класс иерархии Леви .

Варианты и расширения

Командная логика

Командная логика расширяет логику зависимости противоречивым отрицанием $\sim \!\!\phi$. Его выразительная сила эквивалентна силе полной логики второго порядка.

Логика модальной зависимости

Атом зависимости или его подходящий вариант можно добавить в язык модальной логики , получив таким образом логику модальной зависимости .

Логика интуиционистской зависимости

В действительности логика зависимости лишена смысла. Интуиционистский вывод $\phi \rightarrow \psi$, название которого происходит от сходства между его определением и определением импликации интуиционистской логики , можно определить следующим образом:

${\mathcal {A}}\models _{X}\phi \rightarrow \psi$ тогда и только тогда, когда для всех $Y\subseteq X$ такой, что ${\mathcal {A}}\models _{Y}\phi$ он утверждает, что ${\mathcal {A}}\models _{Y}\psi$.

Интуиционистская логика зависимости, то есть логика зависимости, дополненная интуиционистской импликацией, эквивалентна логике второго порядка.

Логика независимости

Вместо атомов зависимости логика независимости добавляет к языку логики первого порядка атомы независимости. ${\vec {t_{1}}}\bot _{\vec {t_{3}}}{\vec {t_{2}}}$ где ${\vec {t_{1}}}$, ${\vec {t_{2}}}$ и ${\vec {t_{3}}}$ представляют собой кортежи терминов. Семантика этих атомов определяется следующим образом:

${\mathcal {A}}\models _{X}{\vec {t_{1}}}\bot _{\vec {t_{3}}}{\vec {t_{2}}}$ тогда и только тогда, когда для всех $s,s'\in X$ с ${\vec {t_{3}}}\langle s\rangle ={\vec {t_{3}}}\langle s'\rangle$ существует $s''\in X$ такой, что ${\vec {t_{3}}}\langle s''\rangle ={\vec {t_{3}}}\langle s\rangle$, ${\vec {t_{1}}}\langle s''\rangle ={\vec {t_{1}}}\langle s\rangle$ и ${\vec {t_{2}}}\langle s''\rangle ={\vec {t_{2}}}\langle s'\rangle$.

Логика независимости соответствует экзистенциальной логике второго порядка в том смысле, что непустой класс команд можно определить с помощью формулы логики независимости тогда и только тогда, когда соответствующий класс отношений можно определить с помощью экзистенциальной формулы второго порядка. Следовательно, на уровне открытых формул логика независимости строго сильнее по выразительной силе, чем логика зависимости. Однако на уровне предложений эти логики эквивалентны.

Логика включения/исключения

Логика включения/исключения расширяет логику первого порядка атомами включения. ${\vec {t_{1}}}\subseteq {\vec {t_{2}}}$ и исключающие атомы ${\vec {t_{1}}}\mid {\vec {t_{2}}}$ где в обеих формулах ${\vec {t_{1}}}$ и ${\vec {t_{2}}}$ представляют собой кортежи терминов одинаковой длины. Семантика этих атомов определяется следующим образом:

• ${\mathcal {A}}\models _{X}{\vec {t_{1}}}\subseteq {\vec {t_{2}}}$ тогда и только тогда, когда для всех $s\in X$ существует $s'\in X$ такой, что ${\vec {t_{1}}}\langle s\rangle ={\vec {t_{2}}}\langle s'\rangle$;
• ${\mathcal {A}}\models _{X}{\vec {t_{1}}}\mid {\vec {t_{2}}}$ тогда и только тогда, когда для всех $s,s'\in X$ он утверждает, что ${\vec {t_{1}}}\langle s\rangle \neq {\vec {t_{2}}}\langle s'\rangle$.

Логика включения/исключения обладает той же выразительной силой, что и логика независимости, уже на уровне открытых формул. Логика включения и логика исключения получаются путем добавления только атомов включения или атомов исключения к логике первого порядка соответственно. Предложения инклюзивной логики по своей выразительной силе соответствуют предложениям наибольшей логики с фиксированной точкой; следовательно, логика включения охватывает (наименьшую) логику фиксированной точки на конечных моделях и PTIME на конечных упорядоченных моделях. Логика исключения, в свою очередь, соответствует логике зависимости по выразительной силе.

Обобщенные кванторы

Другой способ расширения логики зависимости — добавить в язык логики зависимости несколько обобщенных кванторов. Совсем недавно было проведено исследование логики зависимостей с монотонными обобщенными кванторами. и логика зависимости с определенным квантором большинства, что приводит к новой описательной характеристике сложности иерархии подсчета.

См. также

• Семантика игры
• Квантор ветвления
• Логика, дружественная к независимости

Ссылки

• Абрамский, Самсон и Вяэнянен, Йоуко (2009), «От IF к BI». Синтез 167 (2): 207–230.
• Дюран, Арно; Эббинг Йоханнес; Континен, Юха и Фоллмер Хериберт (2011), « Логика зависимости с квантором большинства ». ФСТТС 2011: 252-263.
• Дюран, Арно и Континен, Юха, « Иерархии в логике зависимостей ». Транзакции ACM по вычислительной логике, 2012.
• Эндертон, Герберт Б. (1970), «Конечные частично упорядоченные кванторы». З. Математика. Logik Grundlagen Math., 16: 393–397.
• Энгстрем, Фредрик, « Обобщенные кванторы в логике зависимостей ». журнал логики, языка и информации . Появится
• Галлиани, Пьетро (2012), « Включение и исключение в командной семантике - о некоторой логике несовершенной информации ». Анналы чистой и прикладной логики 163 (1): 68-84.
• Галлиани, Пьетро и Хелла, Лаури (2013), « Логика включения и логика фиксированной точки ». Proceedings of Computer Science Logic 2013 (CSL 2013), Международные труды Лейбница по информатике (LIPIcs) 23, 281-295.
• Гредель, Эрих и Вяэнянен, Йоуко, « Зависимость и независимость ». Студия Логика, появится.
• Хинтикка, Яакко (2002), « Возвращение к принципам математики », ISBN   978-0-521-62498-5 .
• Ходжес, Уилфрид (1997), « Композиционная семантика языка несовершенной информации ». Логический журнал IGPL 5: 539–563.
• Континен, Юха и Нурми, Вилле (2009), «Командная логика и логика второго порядка». В книге «Логика, язык, информация и вычисления» , стр. 230–241.
• Континен, Юха и Вяэнянен, Йоуко (2009), «Об определимости в логике зависимости». Журнал логики, языка и информации 18 (3): 317–332.
• Континен, Юха и Вяэнянен, Йоуко (2009), « Замечание об отрицании логики зависимости ». Журнал формальной логики Нотр-Дам , 52(1):55-65, 2011.
• Ломанн, Питер и Фоллмер, Гериберт (2010), «Результаты сложности для логики модальных зависимостей». В конспектах лекций по информатике , стр. 411–425.
• Севенстер, Мерлин (2009), « Теоретико-модельные и вычислительные свойства логики модальных зависимостей ». Журнал логики и вычислений 19 (6): 1157–1173.
• Вяэнянен, Йоуко (2007), « Логика зависимости — новый подход к логике, дружественной к независимости », ISBN   978-0-521-87659-9 .
• Вяэнянен, Йоуко (2008), « Логика модальной зависимости ». Новые перспективы логики и взаимодействия, стр. 237–254.
• Уолко, Уилбур Дж. (1970), «Конечная частично упорядоченная количественная оценка ». Журнал символической логики , 35: 535–575.
• Ян, Фан (2010), «Выражение предложений второго порядка в интуиционистской логике зависимостей». Зависимость и независимость в логических разбирательствах, стр. 118–132.

Внешние ссылки

• Галлиани, Пьетро. «Логика зависимости» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Специальный выпуск Studia Logica «Зависимость и независимость в логике» , содержащий ряд статей по логике зависимостей.
• Презентации на коллоквиуме Академии логики зависимости, Амстердам, 2014 г.