деление Фурье

Деление Фурье или перекрестное деление — это метод деления карандашом и бумагой , который помогает упростить процесс, когда делитель имеет более двух цифр. Его изобрел Жозеф Фурье .

Метод

В следующем изложении предполагается, что числа разбиты на двузначные части, разделенные запятыми: например, 3456 становится 34,56. В общем случае x,y обозначает x ⋅100 + y , а x,y,z обозначает x ⋅10000 + y ⋅100 + z и т. д.

Предположим, мы хотим разделить c на a , чтобы получить результат b . (Итак, a × b = c .)

${\frac {c}{a}}={\frac {c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5}\dots }{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\dots }}=b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\dots =b$

Обратите внимание, что у ₁ может не быть ведущего нуля; оно должно быть самостоятельным двузначным числом.

Мы можем найти последовательные члены b ₁ , b ₂ и т. д., используя следующие формулы:

$b_{1}={\frac {c_{1},c_{2}}{a_{1}}}{\mbox{ with remainder }}r_{1}$

$b_{2}={\frac {r_{1},c_{3}-b_{1}\times a_{2}}{a_{1}}}{\mbox{ with remainder }}r_{2}$

$b_{3}={\frac {r_{2},c_{4}-b_{2}\times a_{2}-b_{1}\times a_{3}}{a_{1}}}{\mbox{ with remainder }}r_{3}$

$b_{4}={\frac {r_{3},c_{5}-b_{3}\times a_{2}-b_{2}\times a_{3}-b_{1}\times a_{4}}{a_{1}}}{\mbox{ with remainder }}r_{4}\dots$

Каждый раз мы добавляем член к числителю, пока в нем не будет столько членов, сколько . С этого момента количество терминов остается постоянным, поэтому сложность не увеличивается. Как только мы достигнем необходимой точности, мы используем оценку для размещения десятичной точки.

Часто бывает так, что один из членов b будет отрицательным. Например, 93,-12 обозначает 9288, а -16,32 обозначает -1600 + 32 или -1568. (Примечание: 45,−16,32 обозначает 448432.) Также необходимо внимательно следить за знаками остатков.

Общий термин

$b_{i}={\frac {r_{i-1},c_{i+1}-\textstyle \sum _{j=2}^{i}b_{i-j+1}\times a_{j}}{a_{1}}}{\mbox{ with remainder }}r_{i}$

Частные частные, содержащие более двух цифр

В тех случаях, когда один или несколько членов b содержат более двух цифр, окончательное значение частного b не может быть получено простым объединением пар цифр. Вместо этого каждый термин, начиная с $b_{1},$ следует умножить на 100 и прибавить следующий член (или, если он отрицательный, вычесть). Этот результат следует умножить на 100, а затем прибавить или вычесть следующий член и т. д., пока все члены не будут исчерпаны. Другими словами, мы строим частичные суммы членов b :

$B_{1}=b_{1}$

$B_{i}=100b_{i-1}+b_{i}$

Последняя частичная сумма — это значение b .

Пример

Найдите обратную величину π ≈ 3,14159.

${\frac {1}{\pi }}={\frac {10,00,00\dots }{31,41,59\dots }}=b_{1},b_{2},b_{3}\dots =b$

$b_{1}={\frac {10,00}{31}}=32{\mbox{ with remainder }}8$

$b_{2}={\frac {8,00-32\times 41}{31}}={\frac {-512}{31}}=-17{\mbox{ with remainder }}15$

$b_{3}={\frac {15,00+17\times 41-32\times 59}{31}}={\frac {309}{31}}=10{\mbox{ with remainder }}-1.$

Результат: 32,-17,10 или 31,83,10, что дает 0,318310.

Библиография

• Рональд В. Дорфлер. Точный расчет: расчет без инструментов. Издательство Галф, 1993.