Муравей на резиновой веревке

Муравей на резиновой веревке — это математическая головоломка , решение которой кажется нелогичным или парадоксальным. Иногда его изображают в виде червячка или червячка на резинке или резинке, но принципы головоломки остаются прежними.

Детали головоломки могут различаться. ^[1]^[2] но типичная форма такова:

Муравей начинает ползти по натянутой резиновой веревке длиной 1 км со скоростью 1 см в секунду (относительно резины, по которой он ползет). При этом верёвка начинает равномерно растягиваться с постоянной скоростью 1 км в секунду так, что через 1 секунду её длина составит 2 км, через 2 секунды — 3 км и т. д. Дойдёт ли когда-нибудь муравей до конца из веревки?

На первый взгляд кажется, что муравей никогда не достигнет конца веревки, но независимо от длины веревки и скорости, при условии, что длина и скорость остаются постоянными, муравей всегда сможет дойти до конца, если будет достаточно времени. — в указанном выше виде это заняло бы 8,9 × 10 ^{43 421} годы. Существует два ключевых принципа: во-первых, поскольку резиновая веревка натягивается как перед, так и позади муравья, пропорция веревки, по которой муравей уже прошел, сохраняется, и, во-вторых, пропорциональная скорость муравья обратно пропорциональна длина резиновой веревки, поэтому расстояние, которое может преодолеть муравей, неограничено, как гармонический ряд .

Муравей (красная точка) ползает по растягивающейся веревке с постоянной скоростью 1 см/с. Первоначально веревка имеет длину 4 см и растягивается с постоянной скоростью 2 см/с.

Формальная формулировка проблемы

Для анализа ниже представлена формализованная версия головоломки.

Рассмотрим идеальную упругую веревку на

x

-ось такая, что в момент времени

t

его конечные точки находятся в

x=0

( начальная точка ) и

x=c+vt

( целевая точка ) для констант

c>0

и

v>0

. Это значит, что в

t=0

целевая точка находится в позиции

x=c

и это как

t

варьируется, целевая точка движется с постоянной скоростью

v

. Точечный объект ( муравей ) находится на веревке и находится в точке

t=0

он начинается в начальной точке, двигаясь по веревке с постоянной скоростью

\alpha >0

относительно веревки в ее текущем положении. Есть ли время

t

в которой муравей достигает целевой точки?

Постановка загадки из введения соответствует ситуации, когда $c$ составляет 1 км, $v$ составляет 1 км/с, а $\alpha$ составляет 1 см/с.

Решения проблемы

Дискретное математическое решение

Хотя решение проблемы, по-видимому, требует аналитических методов, на самом деле на нее можно ответить с помощью комбинаторного аргумента, рассмотрев вариант, в котором веревка растягивается внезапно и мгновенно каждую секунду, а не растягивается непрерывно. Действительно, проблему иногда формулируют в этих терминах, и следующий аргумент является обобщением аргумента, изложенного Мартином Гарднером , первоначально в журнале Scientific American , а затем переизданном. ^[1]

Рассмотрим вариант, в котором веревка растягивается внезапно и мгновенно каждую секунду, так что целевая точка перемещается из $x=c$ к $x=c+v$ во время $t=0$ и из $x=c+v$ к $x=c+2v$ во время $t=1$ и т. д. Во многих вариантах задачи веревка растягивается в конце каждой секунды, но, растягивая веревку перед каждой секундой, мы ставим муравья в невыгодное положение в достижении его цели, поэтому мы можем быть уверены, что если муравей сможет достичь цели точка в этом варианте, то она, безусловно, может быть и в исходной задаче, или даже в вариантах, где веревка растягивается в конце каждой секунды.

Позволять $\theta (t)$ быть пропорцией расстояния от начальной точки до целевой точки, которое муравей преодолел за время t . Так $\theta (0)=0$ . За первую секунду муравей преодолевает расстояние $\alpha$ , что ${\frac {\alpha }{c+v}}$ расстояния от начальной точки до целевой точки (которое $c+v$ в течение первой секунды). Когда верёвка натянется внезапно и мгновенно, $\theta (t)$ остается неизменным, поскольку муравей движется вместе с резинкой там, где он находится в этот момент. Так $\theta (1)={\frac {\alpha }{c+v}}$ . За следующую секунду муравей проходит расстояние $\alpha$ опять же, что ${\frac {\alpha }{c+2v}}$ расстояния от начальной точки до целевой точки (которое $c+2v$ в течение этой секунды). Так $\theta (2)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}$ . Аналогично для любого $n\in \mathbb {N}$ , $\theta (n)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}+\cdots +{\frac {\alpha }{c+nv}}$ .

Обратите внимание, что для любого $k\in \mathbb {N}$ , ${\frac {\alpha }{c+kv}}\geqslant {\frac {\alpha }{kc+kv}}=\left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left({\frac {1}{k}}\right)$ , поэтому мы можем написать $\theta (n)\geqslant \left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)$ .

Термин $\left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)$ представляет собой частичный гармонический ряд , который расходится , поэтому мы можем найти $N\in \mathbb {N}$ такой, что $1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{N}}\geqslant {\frac {c+v}{\alpha }}$ , а это значит, что $\theta (N)\geqslant 1$ .

Следовательно, при наличии достаточного времени муравей завершит путешествие к целевой точке. Это решение можно использовать для получения верхней границы требуемого времени, но оно не дает точного ответа о том, сколько времени это займет.

Аналитическое решение

Ключевое наблюдение заключается в том, что скорость муравья в данный момент времени $t>0$ - его скорость относительно веревки, т.е. $\alpha$ , плюс скорость веревки в точке, где находится муравей. Целевая точка движется со скоростью $v$ , так что вовремя $t$ это в $x=c+vt$ . Остальные точки вдоль веревки движутся с пропорциональной скоростью, поэтому за время $t$ точка на веревке в $x=X$ движется со скоростью ${\frac {vX}{c+vt}}$ . Итак, если мы напишем положение муравья во времени $t$ как $y(t)$ , и скорость муравья во времени $t$ как $y'(t)$ , мы можем написать:

$y'(t)=\alpha +{\frac {v\,y(t)}{c+vt}}$

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка , и его можно решить стандартными методами. Однако для этого требуются некоторые умеренно продвинутые расчеты. Гораздо более простой подход рассматривает положение муравья как пропорцию расстояния от начальной точки до целевой точки. ^[2]

Рассмотрим координаты $\psi$ измеряется вдоль веревки с начальной точкой в $\psi =0$ и целевая точка в $\psi =1$ . В этих координатах все точки веревки остаются в фиксированном положении (в терминах $\psi$ ) при растяжении веревки. Во время $t\geqslant 0$ , точка в $x=X$ находится в $\psi ={\frac {X}{c+vt}}$ , и скорость $\alpha$ относительно веревки с точки зрения $x$ , эквивалентно скорости ${\frac {\alpha }{c+vt}}$ с точки зрения $\psi$ . Итак, если мы запишем положение муравья через $\psi$ во время $t$ как $\phi (t)$ , а скорость муравья через $\psi$ во время $t$ как $\phi '(t)$ , мы можем написать:

$\phi '(t)={\frac {\alpha }{c+vt}}$ $\therefore \phi (t)=\int {{\frac {\alpha }{c+vt}}\,dt}={\frac {\alpha }{v}}\ln(c+vt)+\kappa$ где $\kappa$ является константой интегрирования.

Сейчас, $\phi (0)=0$ что дает $\kappa =-{\frac {\alpha }{v}}\ln {c}$ , так $\phi (t)={\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vt}{c}}\right)}$ .

Если муравей достигает целевой точки (которая находится в $\psi =1$ ) во время $t=T$ , мы должны иметь $\phi (T)=1$ что дает нам:

${\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vT}{c}}\right)}=1$

$\therefore T={\frac {c}{v}}\left(e^{v/\alpha }-1\right)$

и, следовательно, для длины резиновой ленты, когда муравей поймает целевую точку (т. е. расстояние, пройденное муравьем): $y\left(T\right)=c+vT=c\times e^{v/\alpha }.$

(Для простого случая $v = 0$ мы можем рассмотреть предел $\lim _{v\rightarrow 0}T(v)$ и получить простое решение $T={\tfrac {c}{\alpha }}$ .) Поскольку это дает конечное значение $T$ для всех конечных $c$ , $v$ , $\alpha$ ( $v>0$ , $\alpha >0$ ), это означает, что при наличии достаточного количества времени муравей завершит путешествие к целевой точке. Эту формулу можно использовать, чтобы узнать, сколько времени потребуется.

Для проблемы, как было изначально заявлено, $c=1\,\mathrm {km}$ , $v=1\,\mathrm {km} /\mathrm {s}$ и $\alpha =1\,\mathrm {cm} /\mathrm {s}$ , что дает $T=(e^{100\,000}-1)\,\mathrm {s} \,\!\approx 2.8\times 10^{43\,429}\,\mathrm {s}$ . Это огромный промежуток времени, даже по сравнению с предполагаемым возрастом Вселенной , который составляет всего около 4 × 10 ¹⁷ с . Кроме того, длина веревки по прошествии такого времени также огромна: 2,8 × 10 ^{43 429} км, поэтому только в математическом смысле муравей может когда-либо достичь конца этой конкретной веревки.

Интуиция

Рассмотрим ситуацию из введения, представляющую собой веревку длиной 1 км, натянутую со скоростью 1 км/с, по которой муравей идет с относительной скоростью 1 см/с. В любой момент мы можем представить себе, что на веревке делаем две отметки: одну в текущем положении муравья, а другую на 1 мм ближе к целевой точке. Если бы муравей остановился на мгновение, то с его точки зрения первая метка была бы неподвижной, а вторая метка удалялась бы с постоянной скоростью 1 мм/с или меньше (в зависимости от времени начала). Ясно, что муравей сможет достичь этой второй отметки — для простого завышения оценки времени, которое потребуется, представьте, что мы «выключаем» силу, которую веревка прикладывает к муравью именно в тот момент, когда он достигает первая отметка (оставляя муравья двигаться вперед с постоянной скоростью). По отношению к системе отсчета для первой метки в этот момент муравей движется со скоростью 1 см/с, а вторая метка изначально находится на расстоянии 1 мм и движется со скоростью 1 мм/с, и муравей все равно достигнет отметки через 1 см/с. /9 с.

Что нам нужно сделать, так это представить положение муравья как долю длины веревки. Приведенные выше рассуждения показывают, что эта доля всегда увеличивается, но этого еще недостаточно. (Муравей может асимптотически приближаться к некоторой части веревки и так и не приблизиться к целевой точке.) Эти рассуждения также показывают, что каждые 1/9 с доля веревки, по которой проходит муравей, равна (по крайней мере, как большое, как число) обратно пропорционально текущему времени, поскольку целевая точка движется пропорционально времени, а доля веревки, которой соответствует этот интервал в 1 мм, обратно пропорциональна этому.

Величины, которые растут со скоростью, обратно пропорциональной времени, демонстрируют логарифмический рост , который растет без ограничений, каким бы медленным он ни был. Это означает, что муравей в конечном итоге достигнет целевой точки.

Если скорость растяжения веревки со временем увеличивается , муравей может не достичь цели. Например, представьте, что один конец веревки прикреплен к грузу, который находится в свободном падении в однородном гравитационном поле, причем веревка не оказывает никакого воздействия на груз (другими словами, положение целевой точки задается функцией форма $x=c+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ ). Если $c$ составляет 1 м, $a$ составляет 9,81 м/с ², а муравей движется со скоростью 1 см/с, то муравей не пройдет и 0,71% длины веревки, несмотря на то, что муравей все время продвигается вперед. Однако если муравей движется со скоростью более 1,41 м/с, он достигнет конца веревки за конечное время. Кроме того, существуют сценарии, в которых скорость муравья уменьшается в геометрической прогрессии, а длина веревки увеличивается в геометрической прогрессии, и муравей также достигнет конца веревки за конечное время. ^[3]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Гарднер, Мартин (1982). Ага! Попался: парадоксы, которые озадачивают и восхищают . WH Фриман и компания. стр. 145–146 . ISBN 0-7167-1361-6 .
^ Jump up to: ^а ^б Грэм (1 октября 2002 г.). «Долгая прогулка» . Проблемный сайт . Архивировано из оригинала 24 апреля 2008 года . Проверено 6 апреля 2008 г.
^ Маккартни, Марк (2013). Удлинение резиновой веревки: сходящаясяряды, расходящиеся ряды иинтегрирующий коэффициент, Int. Дж. Математика. Эд. в науке. & Tech., 44:4, 554–559. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/0020739X.2012.729615

[aha-1] Jump up to: ^а ^б Гарднер, Мартин (1982). Ага! Попался: парадоксы, которые озадачивают и восхищают . WH Фриман и компания. стр. 145–146 . ISBN 0-7167-1361-6 .

[tps-2] Jump up to: ^а ^б Грэм (1 октября 2002 г.). «Долгая прогулка» . Проблемный сайт . Архивировано из оригинала 24 апреля 2008 года . Проверено 6 апреля 2008 г.

[3] Маккартни, Марк (2013). Удлинение резиновой веревки: сходящаясяряды, расходящиеся ряды иинтегрирующий коэффициент, Int. Дж. Математика. Эд. в науке. & Tech., 44:4, 554–559. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/0020739X.2012.729615

[1]

[2]

[3]