Шумлет

Шумлеты — это функции, которые дают наихудшее поведение для вейвлет-анализа пакетов Хаара . Другими словами, нойзлеты полностью несжимаемы с помощью вейвлет-пакетного анализа Хаара. Подобно каноническому базису и базису Фурье, которые обладают некогерентным свойством, нойзлеты совершенно некогерентны с базисом Хаара. Кроме того, они имеют быстрый алгоритм реализации, что делает их полезными в качестве основы выборки для сигналов, которые редки в области Хаара.

Определение

Функция материнской базы $\chi (x)$ определяется как:

$\chi (x)={\begin{cases}1&x\in [0,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Семейство нуйлетов строится рекурсивно следующим образом:

${\begin{alignedat}{2}f_{1}(x)&=\chi (x)\\f_{2n}(x)&=(1-i)f_{n}(2x)+(1+i)f_{n}(2x-1)\\f_{2n+1}(x)&=(1+i)f_{n}(2x)+(1-i)f_{n}(2x-1)\end{alignedat}}$

Свойство f _n

• $\{f_{j}|j=2^{N},\dots ,2^{N+1}-1\}$ является ортогональным базисом для $V_{N}$, где $V_{N}$ — пространство всех возможных приближений на разрешении $2^{N}$ функций в $L^{2}[0,1)$.
• Для каждого $n\geq 1$, $\int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=1$
• Для каждого $n\geq 1$, $f_{n}(x)=\prod _{j=0}^{\ell (n)-1}{\tilde {r}}_{v_{j}(n)}(2^{j}x)\in [0,1]$

Матричное построение нойзлетов

Noiselet может быть расширен и дискретизирован. Расширенная функция $f_{m}(k,l)$ определяется следующим образом:

${\begin{alignedat}{2}f_{m}(1,l)&={\begin{cases}1&l=0,\dots ,2^{m}-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\f_{m}(2k,l)&=(1-i)f_{m}(k,2l)+(1+i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\f_{m}(2k+1,l)&=(1+i)f_{m}(k,2l)+(1-i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\\end{alignedat}}$

Использовать расширенный шумлет $f_{m}(k,l)$, мы можем сгенерировать $n\times n$ матрица шумов $N_{n}$, где n — степень двойки $n=2^{q}$:

${\begin{alignedat}{2}N_{1}&=[1]\\N_{2n}&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix}}\otimes N_{n}\\\end{alignedat}}$

Здесь $\otimes$ обозначает произведение Кронекера.

Предполагать $2^{m}>n$, мы можем найти это $N_{n}(k,l)$ равен $f_{m}(n+k,{\frac {2^{m}}{n}}l)$.

Элементы матриц шума принимают дискретные значения из одного из двух наборов из четырех элементов:

${\begin{alignedat}{3}{\sqrt {n}}N_{n}(j,k)&\in \{1,-1,i,-i\}&{\text{for even }}q\\{\sqrt {2n}}N_{n}(j,k)&\in \{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}&{\text{for odd }}q\\\end{alignedat}}$

2D-шумовое преобразование

Двумерные шумовые преобразования получаются с помощью произведения Кронекера одномерного шумового преобразования:

$N_{n\times k}^{2D}=N_{k}\otimes N_{n}$

Приложения

Noiselet обладает некоторыми свойствами, которые делают их идеальными для применения:

• Матрица шумов может быть получена в $O(n\log n)$.
• Noiselet полностью расширяет спектр и совершенно некогерентен с вейвлетами Хаара.
• Noiselet сопряжено симметрично и унитарно.

Комплементарность вейвлетов и шумлетов означает, что шумлеты можно использовать при сжатом измерении для восстановления сигнала (например, изображения), который имеет компактное представление в вейвлетах. Данные МРТ могут быть получены в области шумов, а затем изображения могут быть восстановлены из данных с недостаточной выборкой с использованием реконструкции с использованием компрессионного измерения.

Вот несколько приложений, в которых реализован Noiselet:

• Магнитно-резонансная томография (МРТ)

Шумовое кодирование — это метод, используемый в МРТ для получения изображений с сокращенным временем получения. В МРТ процесс визуализации обычно включает кодирование пространственной информации с использованием градиентов. Традиционное получение МРТ основано на декартовом кодировании. где пространственная информация отбирается в декартовой сетке. Однако эта методология может занять много времени, особенно для изображений с высоким разрешением или динамических изображений.

В то время как Noiselet-кодирование является частью компрессионного зондирования . Он использует разреженность изображений для более эффективного их получения. Идея компрессионного измерения состоит в том, чтобы получить меньше выборок, чем предписывает теорема выборки Найквиста-Шеннона, при условии, что основной сигнал или изображение в некоторой области разрежены. Обзор того, как работает шумовое кодирование в МРТ, кратко объясняется следующим образом:

Кодирование Noiselet использует матрицу преобразования Noiselet, полученные коэффициенты которой эффективно распределяют сигнал как по масштабу, так и по времени. Следовательно, каждое подмножество этих коэффициентов преобразования захватывает определенную информацию из исходного сигнала. Когда эти подмножества используются независимо с заполнением нулями, каждое из них можно использовать для восстановления исходного сигнала с уменьшенным разрешением. Поскольку не все компоненты пространственных частот выбираются с помощью шумового кодирования, недостаточная дискретизация позволяет реконструировать изображение с меньшим количеством измерений, другими словами, более эффективное изображение без значительного ущерба для качества изображения.

• Однопиксельное изображение

Однопиксельная визуализация — это форма визуализации, при которой один детектор используется для измерения уровней освещенности после того, как образец был освещен шаблонами для достижения эффективных и сжимающих измерений. Noiselet реализован для повышения эффективности вычислений за счет соблюдения принципа сжатия. Ниже приводится обзор того, как Noiselet применяется к однопиксельным изображениям:

Матрица преобразования шумов применяется к структурированным шаблонам освещения и распределяет информацию о сигнале по пространству измерений. Структурированные шаблоны приводят к разреженному представлению сигнальной информации. Это позволяет выполнить этап реконструкции изображения на основе сокращенного набора измерений, сохраняя при этом важную информацию, необходимую для восстановления изображения с хорошим качеством по сравнению с оригиналом. Преимущества Noiselet можно сформулировать следующим образом:

1. Уменьшенное количество измерений: для вычислений требуется меньше измерений.
2. Сжатые данные: сжатое представление изображения сокращает время передачи и хранения.
3. Более быстрая визуализация: общее время сбора данных значительно сокращается, что делает однопиксельную визуализацию подходящей для задач быстрой визуализации.